Question

（2012?湖南模擬）如圖甲所示，水平地面上有一輛小車，小車上固定有豎直光滑絕緣管，管長為L，管內(nèi)底部有一質(zhì)量m=0.2g，電荷量q=+8×10^-5C的小球，小球的直徑比管的內(nèi)徑略小．在管口所在水平面MN的下方存在著垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁=15T的勻強(qiáng)磁場，MN面上方存在著垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂=15T的勻強(qiáng)磁場，MN上下的整個(gè)區(qū)域還存在著豎直向上、場強(qiáng)E=25V/m的勻強(qiáng)電場．現(xiàn)讓小車始終保持v=2m/s的速度勻速向右運(yùn)動，以帶電小球剛經(jīng)過場的邊界PQ為計(jì)時(shí)的起點(diǎn)，測得小球?qū)�管�?cè)壁的彈力F_N隨小球到管底的高度h的變化關(guān)系如圖乙所示．g取10m/s²，不計(jì)空氣阻力．求：
（1）小球剛進(jìn)入磁場B₁時(shí)的加速度大小a；
（2）絕緣管的長度L；
（3）小球離開管后每次經(jīng)過水平面MN時(shí)小球距管口的距離△x．

Answer 1

分析：（1）小球在水平方向上隨小車做勻速直線運(yùn)動，剛進(jìn)入磁場時(shí)，在豎直方向上對小球受力分析，受到豎直向下的重力和豎直向上的電場力以及洛倫茲力，在豎直方向上利用牛頓第二定律可求出小球的加速度．
（2）在小球剛要離開管口時(shí)，在水平方向上合力為零，在水平方向上受管側(cè)壁的彈力和洛倫茲力（此力是速度在豎直方向上的分量產(chǎn)生的）結(jié)合牛頓運(yùn)動定律和運(yùn)動學(xué)公式可求出絕緣管的長度．
（3）當(dāng)小球離開管口進(jìn)入復(fù)合場時(shí)，對其受力分析，受到重力、電場力和洛倫茲力，經(jīng)計(jì)算可判斷重力和電場力平衡，可知小球會在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動，做出小球的運(yùn)動軌跡圖，利用有邊界磁場的運(yùn)動規(guī)律可求出小球和管口在水平方向上的位移之差．

解答：解：
（1）小球在管內(nèi)運(yùn)動時(shí)，以小球?yàn)檠芯繉ο�，小球受到豎直向下的重力、豎直向上的電場力和大小恒定、方向豎直向上的洛倫茲力，設(shè)加速度為a，由牛頓第二定律有：
qB₁v+qE-mg=ma
則：a=

qB1v+Eq-mg

m

=12m/s2；
（2）小球在管中豎直方向做勻加速直線運(yùn)動，在小球運(yùn)動到管口時(shí)，F(xiàn)_N=2.4×10^-3N，設(shè)v₁為小球豎直分速度，水平方向有：
F_N-qv₁B₁=0
解得：v1=

FN

qB1

=2m/s
豎直方向有：v₁²=2aL
解得：L=

v 2 1

2a

=

1

6

m
（3）小球離開管口進(jìn)入復(fù)合場，小球受到豎直向下的重力、豎直向上的電場力和方向隨時(shí)發(fā)生變化的洛倫茲力，
其中：
qE=8×10^-5×25=2×10^-3N
mg=0.2×10^-3×10=2×10^-3N
有qE=mg，故電場力與重力平衡，小球在復(fù)合場中做勻速圓周運(yùn)動，合速度v'與MN成45°角，軌道半徑為R，（如圖）qvB2=

mv′2

R

R=

mv′

qB2

=

2

3

m
小球離開管口開始計(jì)時(shí)，到再次經(jīng)過MN所通過的水平距離
x1=2Rsin45°=

2

R=

2

3

m
T=

2πR

v′

=

2πm

qB2

對應(yīng)的時(shí)間有：
t=

1

4

T=

πm

2qB2

=

π

12

s
設(shè)小車運(yùn)動的距離為x₂
x2=vt=2×

π

12

=

π

6

s
若小球再經(jīng)過MN時(shí)，有：
△x=n（x₁-x₂）
解得：△x=

n

3

(2-

π

2

)m    n=1、2、3、…
答：（1）小球剛進(jìn)入磁場B₁時(shí)的加速度大小為12m/s²
    （2）絕緣管的長度為

1

6

m
    （3）小球離開管后每次經(jīng)過水平面MN時(shí)小球距管口的距離為△x=

n

3

(2-

π

2

)m    n=1、2、3、…

點(diǎn)評：該題考查了帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動，對復(fù)合場的理解和運(yùn)動過程的分析是解決此類問題的關(guān)鍵．
復(fù)合場：即在同一區(qū)域內(nèi)同時(shí)有電場、磁場和重力場，此類問題看似簡單，受力也不復(fù)雜，但仔細(xì)分析其運(yùn)動往往比較難以把握．
帶電粒子在復(fù)合場中運(yùn)動的分析方法和一般思路：
①當(dāng)帶電粒子所受合外力為零時(shí)，將做勻速直線運(yùn)動或處于靜止?fàn)顟B(tài)．合外力恒定且與初速同向時(shí)做勻變速直線運(yùn)動，常見的情況有：
Ⅰ、洛倫茲力為零（即v∥B），重力與電場力平衡，做勻速直線運(yùn)動；或重力與電場力的合力恒定，做勻變速運(yùn)動．
Ⅱ、洛倫茲力f_洛與重力和電場力的合力平衡，做勻速直線運(yùn)動．
②帶電粒子所受合外力做向心力，帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動時(shí)．由于通常情況下，重力和電場力為恒力，故不能充當(dāng)向心力，所以一般情況下是重力恰好與電場力相平衡，洛倫茲力是以上力的合力．
③當(dāng)帶電粒子受的合力大小、方向均不斷變化時(shí)，粒子做非勻變速曲線運(yùn)動．