Question

8．在光滑的水平面上有一質(zhì)量m為靜止的物塊（可視為質(zhì)點），在物塊的正上方L處的O點固定一輕繩，繩的另一端系一個質(zhì)量為2m的小球；在物塊下方光滑的水平面上停了一質(zhì)量M=8m的小車，小車粗糙的上表面與物塊所在水平面在同一水平線上；現(xiàn)將小球拉至繩子與豎向成60°角，由靜止開始釋放，在最低點與物塊發(fā)生彈性碰撞，碰后物塊滑上小車，已知物塊車的動摩擦因素為μ，重力加速度為g；求：
（1）小球與物塊碰后的速度；
（2）若物塊最后未滑離小車，小車的最短長度．

Answer 1

分析 （1）小球由靜止釋放的過程，只有重力做功，機械能守恒，由機械能守恒定律求出小球與物塊碰撞前的速度．根據(jù)動量守恒定律和機械能守恒定律求小球與物塊碰后的速度；
（2）物塊在小車上滑行時，系統(tǒng)的動量守恒，能量也守恒，由動量守恒定律和求解共同速度，再由能量守恒定律求小車的最短長度．

解答 解：（1）設小球最低點與物塊碰撞前的速度大小為v．小球向下擺動的過程，由機械能守恒定律得：
2mgL（1-cos60°）=$\frac{1}{2}$•2mv²；
則得：v=$\sqrt{gL}$
對于碰撞過程，取水平向右為正方向，由動量守恒和動能守恒得：
  2mv=2mv₁+mv₂
  $\frac{1}{2}$•2mv=$\frac{1}{2}$•2mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²．
解得，v₁=$\frac{1}{3}$v=$\frac{1}{3}$$\sqrt{gL}$，v₂=$\frac{4}{3}$v=$\frac{4}{3}$$\sqrt{gL}$
即小球與物塊碰后的速度為$\frac{1}{3}$$\sqrt{gL}$．
（2）物塊獲得速度后在小車上向右滑動，最終兩者速度相同，設共同速度為v′，取水平向右正方向，根據(jù)動量守恒定律得：
mv₂=（m+M）v′
又 M=8m
解得：v′=$\frac{1}{9}$v₂=$\frac{4}{27}$$\sqrt{gL}$
根據(jù)能量守恒定律得：μmgd=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$（m+M）v′²
解得：小車的最短長度為：d=$\frac{64L}{81μ}$
答：（1）小球與物塊碰后的速度為$\frac{1}{3}$$\sqrt{gL}$；
（2）若物塊最后未滑離小車，小車的最短長度是$\frac{64L}{81μ}$．

點評 本題的關鍵分析清楚物體運動過程，把握每個過程遵守的物理規(guī)律是關鍵．要知道根據(jù)能量守恒定律是求相對位移是常用的方法．