Question

18．如圖所示，AB是一段光滑的水平支持面，一個(gè)質(zhì)量為m的小物體P在支持面上以速度v₀滑到B點(diǎn)時(shí)水平飛出，落在水平地面的C點(diǎn)，其軌跡如圖中虛線(xiàn)BC所示．已知P落地時(shí)相對(duì)于B點(diǎn)的水平位移OC=l，重力加速度為g，不記空氣阻力的作用．
（1）現(xiàn)于支持面下方緊貼B點(diǎn)安裝一水平傳送帶，傳送帶右端E與B點(diǎn)相距$\frac{1}{2}$，先將驅(qū)動(dòng)輪鎖定，傳送帶處于靜止?fàn)顟B(tài)．使P仍以v₀離開(kāi)B點(diǎn)在傳送帶上滑行，然后從傳送帶右端E水平飛出，恰好仍落在C點(diǎn)，其軌跡如圖中虛線(xiàn)EC所示，求小物塊P與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；
（2）若將驅(qū)動(dòng)輪的鎖定解除，并使驅(qū)動(dòng)輪以角速度ω順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，再使P仍以v₀從B點(diǎn)滑上傳送帶，已知驅(qū)動(dòng)輪的半徑為r，傳送帶不打滑．若要使P最后仍落到C點(diǎn)，則求：
①驅(qū)動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω應(yīng)該滿(mǎn)足什么條件？
②在滿(mǎn)足?的條件下，P與皮帶間摩擦產(chǎn)生的熱量Q
（3）若驅(qū)動(dòng)輪以不同的角度ω順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，仍使P以v₀從B點(diǎn)滑上傳送帶，最后P的落地點(diǎn)為D（圖中未畫(huà)出）．試寫(xiě)出角速度ω對(duì)應(yīng)的OD的可能值．

Answer 1

分析 （1）小物體從B到C的過(guò)程與從E到C的過(guò)程，均做平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，根據(jù)水平位移關(guān)系求初速度關(guān)系，再對(duì)小物體從B到E的過(guò)程，由動(dòng)能定理求動(dòng)摩擦因數(shù)．
（2））①當(dāng)傳送帶的速度 v=ωr≤v_E，即ω≤$\frac{{v}_{0}}{2r}$時(shí)，物體在傳送帶上一直做勻減速運(yùn)動(dòng)，物體離開(kāi)傳送帶時(shí)的速度為v_E．
②在滿(mǎn)足①的條件下，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出物體與傳送帶間的相對(duì)位移，再求熱量Q．
（3）根據(jù)傳送帶速度范圍，分析物體在傳送帶上的運(yùn)動(dòng)情況，得到物體離開(kāi)傳送帶的速度，從而結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求得OD．

解答 解：（1）小物體從B到C的過(guò)程，做平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向有 l=v₀t₀．
小物體從E到C的過(guò)程水平方向有 $\frac{l}{2}$=v_Et₀．
可得  v_E=$\frac{{v}_{0}}{2}$
設(shè)小物體與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，小物體從B到E的過(guò)程，由動(dòng)能定理得
-μmg$\frac{l}{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得  μ=$\frac{3{v}_{0}^{2}}{4gl}$
（2）①當(dāng)傳送帶的速度 v=ωr≤v_E，即ω≤$\frac{{v}_{0}}{2r}$時(shí)，物體在傳送帶上一直做勻減速運(yùn)動(dòng)，物體離開(kāi)傳送帶時(shí)的速度為v_E．
②在滿(mǎn)足①的條件下，物體在傳送帶上做勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．
  則有 $\frac{\frac{l}{2}}{t}$=$\frac{{v}_{0}+{v}_{E}}{2}$=$\frac{3{v}_{0}}{4}$
解得 t=$\frac{2l}{3{v}_{0}}$
此過(guò)程中，傳送帶通過(guò)的路程 S_帶=ωrt=$\frac{2ωrl}{3{v}_{0}}$
小物體與傳送帶間的相對(duì)位移 S_相=$\frac{l}{2}$-S_帶=$\frac{l}{2}$-$\frac{2ωrl}{3{v}_{0}}$
所以P與皮帶間摩擦產(chǎn)生的熱量 Q=μmgS_相=$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{4}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{2ωr}{3{v}_{0}}$）
（3）（a）當(dāng)傳送帶的速度滿(mǎn)足 0＜v_帶=ωr＜v_E，即 0＜ω＜$\frac{{v}_{0}}{2r}$時(shí)，物體在傳送帶上一直做勻減速運(yùn)動(dòng)，物體離開(kāi)傳送帶時(shí)的速度為v_E，則 OD=l．
（b）如果物體在傳送帶上一直做勻加速而未與傳送帶共速，則物體的加速度始終為 a=μg
物體離開(kāi)傳送帶時(shí)的速度達(dá)到最大值為v_max．
根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式 v_max²-v₀²=2μg$\frac{l}{2}$
解得 v_max=$\frac{\sqrt{7}}{2}{v}_{0}$
當(dāng)傳送帶的速度 v_帶=ωr≥$\frac{\sqrt{7}}{2}{v}_{0}$，即ω≥$\frac{\sqrt{7}{v}_{0}}{2r}$時(shí)，物體離開(kāi)傳送帶時(shí)的速度為v_max．
則 OD=（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{7}}{2}$）l
（c）當(dāng)傳送帶的速度 v_E＜v_帶=ωr＜v_max，即$\frac{{v}_{0}}{2r}$＜ω＜$\frac{\sqrt{7}}{2}{v}_{0}$時(shí)
物體離開(kāi)傳送帶時(shí)的速度為 v=v_帶=ωr，則 OD=（$\frac{1}{2}$+$\frac{ωr}{{v}_{0}}$）l
答：
（1）小物塊P與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ是$\frac{3{v}_{0}^{2}}{4gl}$；
（2）①驅(qū)動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω應(yīng)該滿(mǎn)足ω≤$\frac{{v}_{0}}{2r}$的條件．
②在滿(mǎn)足?的條件下，P與皮帶間摩擦產(chǎn)生的熱量Q為$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{4}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{2ωr}{3{v}_{0}}$）．
（3）（a）當(dāng) 0＜ω＜$\frac{{v}_{0}}{2r}$時(shí)，OD為l．
（b）當(dāng)ω≥$\frac{\sqrt{7}{v}_{0}}{2r}$時(shí)，OD為（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{7}}{2}$）l
（c）當(dāng)$\frac{{v}_{0}}{2r}$＜ω＜$\frac{\sqrt{7}}{2}{v}_{0}$時(shí)OD為（$\frac{1}{2}$+$\frac{ωr}{{v}_{0}}$）l．

點(diǎn)評(píng) 本題要具有分析物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程的能力，要抓住平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間由高度決定這一知識(shí)點(diǎn)，要注意摩擦產(chǎn)生的熱量與相對(duì)位移有關(guān)．