Question

7．一個圓柱形的豎直的井里存有一定量的水，井的側(cè)面和底部是密閉和．在井中固定地插著一根兩端開口的薄壁圓管，管和井共軸，管下端未觸及井底，在圓管內(nèi)有一不漏氣的活塞，它可沿圓管上下滑動．開始時，管內(nèi)外水面相齊，且活塞恰好接觸水面，如圖所示，現(xiàn)有卷揚(yáng)機(jī)通過繩子對活塞施加一個向上的力F，使活塞緩慢向上移動．已知管筒半徑r=0.100m，井的半徑R=2r，水的密度ρ=1.00×10³kg/m³，大氣壓p₀=1.00×10⁵Pa．，（井和管在水面以上及水面以下的部分都足夠長．不計活塞質(zhì)量，不計摩擦，重力加速度g=10m/s²．）求：
（1）管內(nèi)水面上升的高度h₁與管外水面下降的高度h₂之比
（2）活寒上升H=9.00m的過程中拉力F所做的功．

Answer 1

分析 解決本題需要掌握：液體壓強(qiáng)的產(chǎn)生；正確判斷活塞和液面之間是否出現(xiàn)真空；活塞上升過程分為兩個過程，正確求出這兩個過程中拉力做功；在求功過程中，對于變力做功，要正確應(yīng)用功能關(guān)系求解．

解答 解：從開始提升到活塞升至內(nèi)外水面高度差為${h_0}=\frac{p_0}{ρg}=10m$的過程中，活塞始終與管內(nèi)液體接觸，設(shè)活塞上升距離為h₁，管外液面下降距離為h₂，
h₀=h₁+h₂…①
因液體體積不變，有：${h_2}={h_1}（\frac{{π{r^2}}}{{π{R^2}-πr}}）=\frac{1}{3}{h_1}$…②
得：${h_1}=\frac{3}{4}{h_0}=\frac{3}{4}×10m=7.5m$…③
題給H=9m＞h₁，由此可知確實有活塞下面是真空的一段過程．
活塞移動距離從零到h₁的過程中，對于水和活塞這個整體，其機(jī)械能的增量應(yīng)等于除重力外其他力所做的功，因為始終無動能，所以機(jī)械能的增量也就等于重力勢能增量，即：
 $△E=ρ（π{r^2}{h_1}）g\frac{h_0}{2}$…④
其他力有管內(nèi)、外的大氣壓力的拉力F，因為液體不可壓縮，所以管內(nèi)、外大氣壓力做的總功${p_0}π（{R^2}-{r^2}）{h_2}-{p_0}πr{h_1}=0$，故外力做功就只是拉力F做的功，由功能關(guān)系知W₁=△E…⑤
即 ${W_1}=ρ（π{r^2}）g\frac{3}{8}h_0^2=\frac{3}{8}π{r^2}\frac{p_0^2}{ρg}=1.18×{10^4}J$…⑥
活塞移動距離從h₁到H的過程中，液面不變，F(xiàn)是恒力F=πr²p₀，做功為：${W_2}=F（H-{h_1}）=π{r^2}{p_0}（H-{h_1}）=4.71×{10^3}J$…⑦
所求拉力F做的總功為：${W_1}+{W_2}=1.65×{10^4}J$…⑧
答：（1）管內(nèi)水面上升的高度h₁與管外水面下降的高度h₂之比3：1．
（2）活寒上升H=9.00m的過程中拉力F所做的功為1.65×10⁴J．

點(diǎn)評 本題涉及有關(guān)壓強(qiáng)的運(yùn)算，又涉及功能關(guān)系，而且過程比較復(fù)雜，尤其是要判斷活塞和液面之間是否出現(xiàn)真空．無論多么復(fù)雜過程，都是由一些簡單無論過程組成，要注重過程分析，正確選用所學(xué)規(guī)律進(jìn)行求解．本題難度較大．