Question

16．某行星和地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道均可視為圓．每過N年，該行星會運(yùn)動到日地連線的延長線上，如圖所示，試求行星與地球的公轉(zhuǎn)半徑之比．

Answer 1

分析 由圖可知行星的軌道半徑大，那么由開普勒第三定律知其周期長，其繞太陽轉(zhuǎn)的慢．每過N年，該行星會運(yùn)行到日地連線的延長線上，說明N年地球比行星多轉(zhuǎn)1圈，即行星轉(zhuǎn)了N-1圈，從而再次在日地連線的延長線上，那么，可以求出行星的周期是$\frac{N}{N-1}$年，接著再由開普勒第三定律求解該行星與地球的公轉(zhuǎn)半徑比．

解答 解：由圖可知行星的軌道半徑大，那么由開普勒第三定律知其周期長．每過N年，該行星會運(yùn)行到日地連線的延長線上，說明從最初在日地連線的延長線上開始，每一年地球都在行星的前面比行星多轉(zhuǎn)圓周的N分之一，N年后地球轉(zhuǎn)了N圈，比行星多轉(zhuǎn)1圈，即行星轉(zhuǎn)了N-1圈，從而再次在日地連線的延長線上．所以行星的周期是$\frac{N}{N-1}$年，根據(jù)開普勒第三定律，有
$\frac{{r}_{行}^{3}}{{r}_{地}^{3}}=\frac{{T}_{行}^{2}}{{T}_{地}^{2}}$，其中${T}_{地}^{\;}=1年$
得：$\frac{{r}_{行}^{\;}}{{r}_{地}^{\;}}=（\frac{{T}_{行}^{\;}}{{T}_{地}^{\;}}）_{\;}^{\frac{2}{3}}=（\frac{N}{N-1}）_{\;}^{\frac{2}{3}}$
答：行星與地球的公轉(zhuǎn)半徑之比為$（\frac{N}{N-1}）_{\;}^{\frac{2}{3}}$

點(diǎn)評 解答此題的關(guān)鍵由題意分析得出每過N年地球比行星多圍繞太陽轉(zhuǎn)一圈，由此求出行星的周期，再由開普勒第三定律求解即可．