Question

14．如圖所示，質量為M=0.5kg、長L=1m的平板車B靜止在光滑水平面上，小車左端緊靠一半徑為R=0.8m的光滑四分之一圓弧，圓弧最底端與小車上表面相切，圓弧底端靜止一質量為m_C=1kg的滑塊．現(xiàn)將一質量為m_A=1kg的小球從圓弧頂端靜止釋放，小球到達圓弧底端后與C發(fā)生彈性碰撞．C與B之間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，取g=10m/s²．若在C剛好滑上木板B上表面的同時，給B施加一個水平向右的拉力F．試求：
（1）滑塊C滑上B的初速度v₀．
（2）若F=2N，滑塊C在小車上運動時相對小車滑行的最大距離．
（3）如果要使C能從B上滑落，拉力F大小應滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理求出A到達圓弧底端的速度，結合動量守恒定律和能量守恒定律求出碰撞后C滑上B的速度．
（2）物體C滑上木板B以后，作勻減速運動，B做勻加速直線運動，抓住兩者速度相等，結合運動學公式和牛頓第二定律求出相對滑動的最大距離．
（3）當F較小時滑塊C從B的右端滑落，滑塊C能滑落的臨界條件是C到達B的右端時，C、B具有共同的速度；當F較大時，滑塊C從B的左端滑落，在C到達B的右端之前，就與B具有相同的速度，此時的臨界條件是之后C必須相對B靜止，才不會從B的左端滑落．根據(jù)牛頓第二定律和運動學公式綜合求解．

解答 解：（1）設A到達圓弧底端的速度為v，由動能定理可得：
${m}_{A}gR=\frac{1}{2}{m}_{A}{v}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得$v=\sqrt{2gR}=\sqrt{2×10×0.8}m/s=4m/s$．
A與C發(fā)生彈性碰撞，規(guī)定初速度的方向為正方向，由動量守恒定律可得：m_Av=m_Av′+m_cv₀，
由機械能守恒定律可得：$\frac{1}{2}{m}_{A}{v}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{A}v{′}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{C}{{v}_{0}}^{2}$，
由以上兩式解得v′=0，v₀=4m/s．
（2）物體C滑上木板B以后，作勻減速運動，此時設B的加速度為a_B，C的加速度為a_C，由牛頓第二定律得，
μm_Cg=m_Ca_C，
解得${a}_{C}=μg=0.2×10m/{s}^{2}=2m/{s}^{2}$，
木板B作加速運動，由牛頓第二定律得，F(xiàn)+μm_Cg=Ma_B，
代入數(shù)據(jù)解得${a}_{B}=8.0m/{s}^{2}$．
兩者速度相同時，有：v₀-a_Ct=a_Bt，
代入數(shù)據(jù)解得t=0.4s．
C滑行距離${s}_{C}={v}_{0}t-\frac{1}{2}{a}_{C}{t}^{2}=1.44m$，
B滑行的距離${s}_{B}=\frac{1}{2}{a}_{B}{t}^{2}=0.64m$ 
C與B之間的最大距離△s=s_C-s_B=0.80m．
（3）C從B上滑落的情況有兩種：
①當F較小時滑塊C從B的右端滑落，滑塊C能滑落的臨界條件是C到達B的右端時，C、B具有共同的速度v₁，設該過程中B的加速度為a_B1，C的加速度不變，
根據(jù)勻變速直線運動的規(guī)律：$\frac{{{v}_{0}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}}{2{a}_{C}}=\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2{a}_{B1}}+L$，$\frac{{v}_{0}-{v}_{1}}{{a}_{C}}=\frac{{v}_{1}}{{a}_{B1}}$，
由以上兩式可得：${a}_{B1}=6m/{s}^{2}$，v₁=3.0m/s，
再代入F+μm_Cg=Ma_B1得，F(xiàn)=1N．
即若F＜1N，則C滑到B的右端時，速度仍大于B的速度，于是將從B上滑落．
②當F較大時，滑塊C從B的左端滑落，在C到達B的右端之前，就與B具有相同的速度，此時的臨界條件是之后C必須相對B靜止，才不會從B的左端滑落．
對B、C整體有：F=（m_C+M）a，對于C有：μm_Cg=m_Ca
由以上兩式解得F=3N，即若F大于3N，A就會相對B向左滑行．
綜上所述，力F滿足的條件是：3N≤F或F≤1N．
答：（1）滑塊C滑上B的初速度為4m/s．
（2）若F=2N，滑塊C在小車上運動時相對小車滑行的最大距離為0.80m．
（3）如果要使C能從B上滑落，拉力F大小應滿足的條件3N≤F或F≤1N．

點評 本題是機械能守恒、牛頓第二定律、動量守恒和能量守恒的綜合應用，對于相對運動的距離，可以通過動力學知識求解，也可以根據(jù)能量守恒和動量守恒綜合求解．