Question

13．如圖所示，邊長為L的正方形區(qū)域abcd內(nèi)有垂直向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B．現(xiàn)有一質(zhì)量為m，電荷量為+q的粒子從a點沿ab方向以一定的初速度進入磁場，恰好從d點飛出，不計粒子重力．
（1）求粒子的初速度大�。�
（2）若保持粒子的初速度方向不變，只改變粒子的速度大小仍從a點進入磁場，粒子從bc邊的p點射出，且bP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$L．求粒子在磁場中的運動時間．

Answer 1

分析 （1）粒子進入磁場中做勻速圓周運動，由幾何知識求得軌跡半徑，再由牛頓第二定律求解初速度．
（2）畫出軌跡，由幾何知識求得軌跡半徑和軌跡對應(yīng)的圓心角，即可求得時間．

解答 解：（1）粒子進入磁場中做勻速圓周運動，依題意，由幾何關(guān)系得粒子的運動軌跡半徑 r₁=$\frac{L}{2}$      
根據(jù)牛頓第二定律得 qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$     ①
可得 v₁=$\frac{qBL}{2m}$            
（2）粒子運動軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系得：
  ${r}_{2}^{2}$=$（{r}_{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}L）^{2}$+L²  ②
可得 r₂=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$L
又設(shè)軌跡的圓心角為θ，則sinθ=$\frac{L}{{r}_{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，θ=60°  ③
粒子在磁場中的運動周期 T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$   ④
粒子在磁場中的運動時間 t=$\frac{θ}{360°}$T   ⑤
解得 t=$\frac{πm}{3qB}$
答：
（1）粒子的初速度大小是$\frac{qBL}{2m}$．
（2）粒子在磁場中的運動時間是$\frac{πm}{3qB}$．

點評 解決帶電粒子在磁場中圓周運動的問題，畫出軌跡，運用幾何知識求解軌跡半徑是解題的關(guān)鍵．