Question

3．一宇宙人在太空（萬有引力可以忽略不計）玩壘球．壘球的質(zhì)量為m，帶有電量大小為q的負電荷，如圖所示，太空球場上半部分是長為4a、寬為a的矩形磁場區(qū)域，該區(qū)域被y軸平分，且有磁感應強度為B、垂直紙面向里的水平勻強磁場．球場的下半部分有豎直向下的勻強電場（無限大），x軸恰為磁場與電場的水平分界線，P點為y軸上y=-a的一點．
（1）若宇宙人將壘球從P點靜止開始釋放，要使壘球不從太空球場上邊界射出，求電場的電場強度E大�。�
（2）若壘球還是從P點靜止開始釋放，在x=2.5a處有一與x軸垂直的足夠大的球網(wǎng)（圖中未畫出）．若將球網(wǎng)向x軸正方向平移，壘球打在網(wǎng)上的位置始終不改變，則電場的電場強度E′為多大？
（3）若a=3m，勻強磁場充滿y＞0的所有區(qū)域，磁感應強度B=10T，勻強電場的電場強度E₀=100V/m，一宇宙人從P點以適當?shù)某跛俣绕叫杏谪搙軸拋出壘球，壘球質(zhì)量m=0.1kg，q=-0.05C，使它經(jīng)過負x軸上的D點，然后歷經(jīng)磁場一次自行回至P點，求OD的距離和從拋出到第一次回到P點所用的時間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理求得壘球經(jīng)電場加速后的速度，由幾何關系知壘球恰好不從上邊界飛出，說明壘球在磁場中圓周運動的半徑剛好等于磁場的寬度，根據(jù)半徑公式求解即可；
（2）根據(jù)動能定理和半徑公式計算出壘球做圓周運動的半徑，然后應用牛頓第二定律求出電場場強；
（3）求出壘球在電場與磁場中的運動時間，然后求出總的運動時間．

解答 解：（1）壘球在電場中加速，由動能定理得：qEa=$\frac{1}{2}$mv²-0，
粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
壘球不從太空球場邊界射出需要滿足：r≤a，解得：E≤$\frac{q{B}^{2}a}{2m}$；
（2）壘球在電場中加速，由動能定理得：qE′a=$\frac{1}{2}$mv′²-0，
由“將球網(wǎng)向x軸正方向平移，壘球打在網(wǎng)上的位置始終不改變”可知，壘球離開磁場時壘球的速度方向平行于x軸沿+x方向，壘球進入勻強磁場后做勻速圓周運動的軌道半徑為：
r′=$\frac{2a}{2n+1}$  n=1，2，3…，
由牛頓第二定律得：qv′B=m$\frac{v{′}^{2}}{r′}$，
解得：E′=$\frac{2q{B}^{2}a}{（2n+1）^{2}m}$  （n=1，2，3…）
（3）壘球在電場中做類平拋運動，在磁場中做勻速圓周運動，設OD=d，運動軌跡如圖所示：

由幾何知識得：R=$\frac6rbre3v{sinα}$，v₀sinα=$\sqrt{\frac{2q{E}_{0}a}{m}}$，壘球的軌道半徑：R=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，
解得：d=$\sqrt{\frac{2ma{E}_{0}}{q{B}^{2}}}$，
代入數(shù)據(jù)解得：d=2$\sqrt{3}$m，
在電場中，a=$\frac{1}{2}$$\frac{q{E}_{0}}{m}$t₁²，
代入數(shù)據(jù)解得：t₁=$\frac{\sqrt{3}}{5}$s，v₀=$\fracn6ytoj5{{t}_{1}}$，
解得：v₀=10m/s，
在磁場中：tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\sqrt{\frac{2qa{B}^{2}}{m{E}_{0}}}$，
代入數(shù)據(jù)解得：α=60°，
在磁場中的運動時間：t₂=$\frac{360°-2α}{360°}$T=$\frac{360°-2×60°}{360°}$×$\frac{2πm}{qB}$，
解得：t₂=$\frac{4π}{15}$s，
運動時間：t=2t₁+t₂=$\frac{6\sqrt{3}+4π}{15}$s≈1.53s；
答：（1）電場的電場強度E大小為：E≤$\frac{q{B}^{2}a}{2m}$．
（2）電場的電場強度E′為：E′=$\frac{2q{B}^{2}a}{（2n+1）^{2}m}$  （n=1，2，3…）；
（3）OD的距離為2$\sqrt{3}$m，從拋出到第一次回到P點所用的時間為1.53s．

點評 解決本題的關鍵是掌握帶壘球在加速電場中的運動及由動能定理求得經(jīng)加速電場后的速度，壘球在磁場中在洛倫茲力作用下做圓周運動，要考慮到由條件作出壘球運動軌跡，由軌跡確定壘球運動的半徑，再根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式求解，要注意圓周運動的周期性．