Question

如圖所示，長為L，質(zhì)量為m₁的物塊A置于光滑水平面上，在A的水平上表面左端放一質(zhì)量為m₂的物體B（物體B可視為質(zhì)點(diǎn)），B與A的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．A和B一起以相同的速度V 向右運(yùn)動(dòng)，在A與豎直墻壁碰撞過程中無機(jī)械能損失，要使B一直不從A上掉下來，V必須滿足什么條件？（ 用m₁、m₂，L 及μ表示）

Answer 1

分析：該題要注意分兩種情況進(jìn)行討論：I．若m₁＞m₂木板與豎直墻碰撞后，以原速反彈，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出兩者最終的速度，根據(jù)能量守恒定律求出V必須滿足什么條件．
II． 若m₁≤m₂，木板與豎直墻碰撞后，以原速反彈，根據(jù)動(dòng)量守恒定律知木板將與豎直墻再次碰撞，最后木板停在豎直墻處，根據(jù)能量守恒定律求出V必須滿足什么條件．

解答：解：A與墻壁發(fā)生無機(jī)械能損失的碰撞后，A以大小為V的速度向左運(yùn)動(dòng)，B仍以原速度V向右運(yùn)動(dòng)，以后的運(yùn)動(dòng)過程有三種可能
（1）若m₁＞m₂，碰墻后系統(tǒng)的總動(dòng)量方向向左，則m₁和m₂最后以共同速度向左運(yùn)動(dòng)． 
設(shè)它們相對靜止時(shí)的共同速度v₁，據(jù)動(dòng)量守恒定律有
     m₁V-m₂V=（ m₁+m₂）v₁
若相對靜止時(shí)B正好在A的右端，則系統(tǒng)機(jī)械能損失應(yīng)為μm₂gL，
根據(jù)能量守恒有 

1

2

m1v2+

1

2

m2v2-

1

2

(m1+m2)

v

2 1

=μmgL  
解得：v=

μgL(m1+m2) 2m1

   
故 若m₁＞m₂，v≤

μgL(m1+m2) 2m1

 為所求． 
（2）若m₁=m₂，碰墻后系統(tǒng)的總動(dòng)量為零，則A、B最后都靜止在水平面上，但不再與墻壁發(fā)生第二次碰撞．    
設(shè)靜止時(shí)A在B的右端，則有：

1

2

m1v2+

1

2

m2v2=μm2gL 
解得：v=

2μm2gL (m1+m2)

          
（3）若m₁＜m₂，碰墻后系統(tǒng)的總動(dòng)量方向向右，則A將多次和墻壁碰撞，每次碰撞后總動(dòng)量方向都向右．由于滑動(dòng)摩擦力的作用，系統(tǒng)的向右方向的總動(dòng)量逐漸減小至零，最后停在靠近墻壁處．  
設(shè)最后A靜止在靠近墻壁處時(shí)，B靜止在A的右端，
同理有：

1

2

m1v2+

1

2

m2v2=μm2gL  
解得：v=

2μm2gL (m1+m2)

    
由（2）（3）故 若m₁≤m₂，v≤

2μm2gL (m1+m2)

為所求．
答：要使B一直不從A上掉下來，若m₁＞m₂，v≤

μgL(m1+m2) 2m1

；若m₁≤m₂，v≤

2μm2gL (m1+m2)

．

點(diǎn)評：本題綜合運(yùn)用了動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律，難度較大，關(guān)鍵是根據(jù)動(dòng)量守恒定律理清木板和木塊最終的運(yùn)動(dòng)情況．