Question

6．在以O為圓心，夾角為60°的扇形區(qū)域內分布著方向垂直于紙面向外的勻強磁場，大量的帶正電粒子從OC邊界沿垂直O(jiān)C方向（紙面內）以各種速度射入磁場，已知磁感強度為B，粒子重量為m，電量為q，OC長為L，不計粒子重力．
（1）若OC邊上存在一點P（圖上未標出），滿足從OP之間射入磁場的所有粒子都無法從CD邊界射出，求P點與O點間的最大距離；
（2）在OC邊上另取一點O（圖上未標出），且OQ=λL（0＜λ＜1），若從Q點射出磁場的粒子能從OD邊射出，粒子速度應滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，求出粒子軌道半徑，然后分析答題；
（2）作出粒子運動軌跡，求出粒子從OD射出的臨界軌道半徑，然后由牛頓第二定律求出粒子的臨界速度，最后確定其速度范圍．

解答 解：（1）粒子在磁場中做圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：R=$\frac{mv}{qB}$
因此可知，粒子運動的速度越大，則圓周運動的半徑越大，
如果速度很大，則其運動的半徑就非常大，一小段軌跡就接近是直線了．

而題目說以任意速度粒子都不能從CD射出，故過D做OC的垂線，交OC于P點，
則粒子從此點垂直O(jiān)C射入，不管速度v多大都不能夠從CD邊射出，
由幾何知識可知，OP的最大距離：x=Lcos60°=$\frac{1}{2}$L；
（2）粒子軌跡與OD恰好相切時粒子恰好不從OD射出，軌跡如圖所示：

由幾何知識得：r+$\frac{r}{sin60°}$=λL，
解得：r=$\frac{3λL}{2\sqrt{3}+3}$，
粒子恰好從D點射出時的運動軌跡如圖所示：

由幾何知識得：r′²=L²+（r′-λL）²-2L（r′-λL）cos120°，
解得：r′=$\frac{（1-λ+{λ}^{2}）L}{2λ-1}$，
粒子在磁場中做圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：v=$\frac{qBr}{m}$，
則：v=$\frac{3λqBL}{（2\sqrt{3}+3）m}$，v′=$\frac{（1-λ+{λ}^{2}）qBL}{（2λ-1）m}$，
粒子不從OD射出時速度滿足的條件是：$\frac{3λqBL}{（2\sqrt{3}+3）m}$＜v≤$\frac{（1-λ+{λ}^{2}）qBL}{（2λ-1）m}$；
答：（1）從OP之間射入磁場的所有粒子都無法從CD邊界射出，P點與O點間的最大距離為$\frac{1}{2}$L；
（2）從Q點射出磁場的粒子能從OD邊射出，粒子速度應滿足的條件是$\frac{3λqBL}{（2\sqrt{3}+3）m}$＜v≤$\frac{（1-λ+{λ}^{2}）qBL}{（2λ-1）m}$．

點評 本題考查了粒子在磁場中的運動，分析清楚粒子運動規(guī)程、作出粒子運動軌跡是解題的關鍵，應用牛頓第二定律可以解題，解題時注意幾何知識的應用．