Question

6．宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠(yuǎn)的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對(duì)它們的引力作用，如圖所示，設(shè)四星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量均為m，半徑均為R，四顆星穩(wěn)定分布在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上．已知引力常數(shù)為G，關(guān)于四星系統(tǒng)，下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 四顆星的向心加速度的大小均為$\frac{2\sqrt{2}Gm}{{L}^{2}}$
• B． 四顆星運(yùn)行的線速度大小均為$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{（4+\sqrt{2}）Gm}{L}}$
• C． 四顆星運(yùn)行的角速度大小均為$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{（1+2\sqrt{2}）Gm}{L}}$
• D． 四顆星運(yùn)行的周期均為2πL$\sqrt{\frac{2L}{（1+2\sqrt{2}）Gm}}$

Answer 1

分析 在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對(duì)它的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，根據(jù)合力提供向心力列等式，求出星體勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度、線速度、角速度和周期．

解答 解：星體在其他三個(gè)星體的萬(wàn)有引力作用下，合力方向指向?qū)�角線的交點(diǎn)，圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，四顆星的軌道半徑為r=$\frac{\sqrt{2}}{2}L$，
根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，有：
$G\frac{{m}_{\;}^{2}}{（\sqrt{2}L）_{\;}^{2}}+\frac{2G{m}_{\;}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}cos45°=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{（\frac{\sqrt{2}L}{2}）}$=$m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}•\frac{\sqrt{2}}{2}L$=$m{ω}_{\;}^{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}L$=ma
解得：$a=G\frac{m}{{L}_{\;}^{2}}\frac{1+2\sqrt{2}}{2}$；$v=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{（4+\sqrt{2}）Gm}{L}}$；$ω=\frac{1}{L}\sqrt{\frac{（2+\sqrt{2}）Gm}{L}}$；$T=2πL\sqrt{\frac{（2-\sqrt{2}）L}{2Gm}}$
故B正確，ACD錯(cuò)誤；
故選：B

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對(duì)它的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．