Question

15．如圖所示，兩根相距L₁的平行粗糙金屬導(dǎo)軌固定在水平面上，導(dǎo)軌上分布著n 個(gè)寬度為d、間距為2d的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直水平面向上．在導(dǎo)軌的左端連接一個(gè)阻值為R的電阻，導(dǎo)軌的左端距離第一個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域L₂的位置放有一根質(zhì)量為m，長為L₁，阻值為r的金屬棒，導(dǎo)軌電阻及金屬棒與導(dǎo)軌間的接觸電阻均不計(jì)．某時(shí)刻起，金屬棒在一水平向右的已知恒力F作用下由靜止開始向右運(yùn)動(dòng)，已知金屬棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g．

（1）若金屬棒能夠勻速通過每個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，求金屬棒離開第2個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度v₂的大小；
（2）在滿足第（1）小題條件時(shí)，求第n個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度B_n的大小；
（3）現(xiàn)保持恒力F不變，使每個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度均相同，發(fā)現(xiàn)金屬棒通過每個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)電路中的電流變化規(guī)律完全相同，求金屬棒從開始運(yùn)動(dòng)到通過第n個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域的整個(gè)過程中左端電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解
（2）求出金屬棒勻加速運(yùn)動(dòng)的位移，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出進(jìn)入第n個(gè)磁場(chǎng)的速度，根據(jù)在第n個(gè)磁場(chǎng)中的受力平衡求第n個(gè)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度${B}_{n}^{\;}$
（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合動(dòng)能定理求出電阻上的焦耳熱．

解答 解：（1）金屬棒勻加速運(yùn)動(dòng)有F-μmg=ma
$v_2^2=2a（{L_2}+2d）$
解得：${v_2}=\sqrt{\frac{{2（F-μmg）（{L_2}+2d）}}{m}}$
（2）金屬棒勻加速運(yùn)動(dòng)的總位移為  x=L₂+2nd-2d
金屬棒進(jìn)入第n個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的速度滿足  $v_n^2=2ax$
金屬棒在第n個(gè)磁場(chǎng)中勻速運(yùn)動(dòng)有安F-μmg-F_安=0
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)$E={B}_{n}^{\;}L{v}_{n}^{\;}$
電流$I=\frac{E}{R+r}=\frac{{B}_{n}^{\;}L{v}_{n}^{\;}}{R+r}$
安培力${F}_{A}^{\;}={B}_{n}^{\;}L{v}_{n}^{\;}$
聯(lián)立得：${F_安}=\frac{{B_n^2L_1^2{v_n}}}{R+r}$
解得：${B_n}=\frac{1}{L_1}\root{4}{{\frac{{m（F-μmg）{{（R+r）}^2}}}{{2{L_2}+4nd-4d}}}}$
（3）金屬棒進(jìn)入每個(gè)磁場(chǎng)時(shí)的速度v和離開每個(gè)磁場(chǎng)時(shí)的速度v'均相同，
由題意可得v²=2aL₂
v²-v'²=2a•2d
金屬棒從開始運(yùn)動(dòng)到通過第n個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域的過程中，有x_總=L₂+3nd-2d
$（F-μmg）{x_總}-{Q_總}=\frac{1}{2}m{v'^2}$
$Q=\frac{R}{R+r}{Q_總}$
解得：$Q=\frac{3R}{R+r}nd（F-μmg）$
答：（1）若金屬棒能夠勻速通過每個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，金屬棒離開第2個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度v₂的大小$\sqrt{\frac{2（F-μmg）（{L}_{2}^{\;}+2d）}{m}}$；
（2）在滿足第（1）小題條件時(shí)，第n個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度B_n的大小為$\frac{1}{{L}_{1}^{\;}}\sqrt{\frac{m（F-μmg）（R+r）_{\;}^{2}}{2{L}_{2}^{\;}+4nd-4d}}$；
（3）現(xiàn)保持恒力F不變，使每個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度均相同，發(fā)現(xiàn)金屬棒通過每個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)電路中的電流變化規(guī)律完全相同，金屬棒從開始運(yùn)動(dòng)到通過第n個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域的整個(gè)過程中左端電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q為$\frac{3R}{R+r}nd（F-μmg）$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了導(dǎo)體切割磁感線產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)，牛頓第二定律和能量守恒定律，綜合性較強(qiáng)，關(guān)鍵是理清運(yùn)動(dòng)過程，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解