Question

10．如圖所示，固定光滑的平行金屬導(dǎo)軌CD與EF間距為L=1m，與水平地面夾角為θ，且sinθ=0.4，導(dǎo)軌C、E兩端用電阻R=0.8Ω的導(dǎo)線連接，導(dǎo)軌的電阻不計(jì)，導(dǎo)軌處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=0.1T、方向垂直于導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場中，一根電阻為r=0.2Ω的金屬棒MN兩端通過導(dǎo)電小輪擱在兩導(dǎo)軌上，棒上有吸水裝置P．取沿導(dǎo)軌向下為x軸正方向，坐標(biāo)原點(diǎn)O在CE中點(diǎn)．開始時(shí)棒處在x=0位置（即與CE重合），棒的起始質(zhì)量不計(jì)．設(shè)棒自靜止起下滑，質(zhì)量逐漸增大，設(shè)棒質(zhì)量的增大與位移x的平方根成正比，即m=k$\sqrt{x}$，k為常數(shù)，其值滿足k²=10^-4kg²/m，g=10m/s²
（1）金屬棒下滑3m位移過程中，流過棒的電荷量是多少？
（2）猜測金屬棒下滑過程中做的是什么性質(zhì)的運(yùn)動，并加以證明．
（3）金屬棒下滑1m位移時(shí)，導(dǎo)線CE兩端的電壓多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律求出電路中產(chǎn)生的平均感應(yīng)電流大小，即可求得流過棒的電荷量；
（2）通過分析受力情況，來分析金屬棒的運(yùn)動情況：棒從靜止開始運(yùn)動，首先可以確定棒開始階段做加速運(yùn)動，然后通過受力分析，看看加速度可能如何變化，棒在下滑過程中沿導(dǎo)軌方向有向下的重力分力mgsinθ和向上的安培力F．由于m隨位移x增大而增大，所以，mgsinθ是一個(gè)變力；而安培力與速度有關(guān)，也隨位移增大而增大，如果兩個(gè)力的差值恒定，即合外力是恒力的話，棒有可能做勻加速運(yùn)動． 假設(shè)棒做的是勻加速運(yùn)動，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度的表達(dá)式，根據(jù)加速度，分析假設(shè)是否正確．
（3）根據(jù)第2問分析得知，棒做勻加速運(yùn)動，將x=1m代入加速度的表達(dá)式，求出加速度，由運(yùn)動學(xué)公式求解速度，再根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路的歐姆定律求解．

解答 解：（1）金屬棒下滑1 m過程中，流過棒的電量：q=$\overline{I}△t$，
根據(jù)閉合電路的歐姆定律可得：$\overline{I}=\frac{E}{R+r}$
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可得：$\overline{E}=\frac{△∅}{△t}$，
聯(lián)立解得：q=$\frac{△∅}{R+r}$=$\frac{BLx}{R+r}$=0.3C；
（2）由于棒從靜止開始運(yùn)動，因此首先可以確定棒開始階段做加速運(yùn)動，然后通過受力分析，看看加速度可能如何變化，如圖所示，棒在下滑過程中沿導(dǎo)軌方向有向下的重力分力mgsinθ和向上的安培力F．由于m隨位移x增大而增大，所以，mgsinθ是一個(gè)變力；而安培力與速度有關(guān)，也隨位移增大而增大，如果兩個(gè)力的差值恒定，即合外力是恒力的話，棒有可能做勻加速運(yùn)動．
假設(shè)棒做的是勻加速運(yùn)動，且設(shè)下滑位移x時(shí)的加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律，有mgsinθ-F=ma
而安培力；F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，
假設(shè)棒做勻加速直線運(yùn)動，則瞬時(shí)速度v=$\sqrt{2ax}$，由于m=k$\sqrt{x}$，
代入后得：$k\sqrt{x}gsinθ$-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2ax}}{R+r}$=$k\sqrt{x}a$，
解得：a=kgsinθ-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2a}}{R+r}$
從上述方程可以看出a的解是一個(gè)定值，與位移x無關(guān)，這表明前面的假設(shè)成立，棒的運(yùn)動確實(shí)是勻加速直線運(yùn)動．
（3）為了求棒下滑1 m時(shí)的電壓，應(yīng)先求出棒的加速度．
根據(jù)a=kgsinθ-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2a}}{R+r}$可得a=2m/s²，
下滑1m時(shí)的速度為v=$\sqrt{2ax}$=$\sqrt{2×2×1}$m/s=2m/s，
金屬棒切割磁感應(yīng)線向上的感應(yīng)電動勢E=BLv=0.2V
根據(jù)閉合電路的歐姆定律可得導(dǎo)線CE兩端的電壓U=$\frac{E}{R+r}•R$=0.16V．
答：（1）金屬棒下滑3m位移過程中，流過棒的電荷量為0.3C；
（2）猜測金屬棒下滑過程中做的是勻加速直線運(yùn)動運(yùn)動，證明見解析；
（3）金屬棒下滑1m位移時(shí)，導(dǎo)線CE兩端的電壓為0.16V．

點(diǎn)評 對于電磁感應(yīng)問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下導(dǎo)體棒的平衡問題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問題，根據(jù)動能定理、功能關(guān)系等列方程求解．
本題中運(yùn)用感應(yīng)電荷量公式求解電量．通過先猜測，再進(jìn)行證明，確定導(dǎo)體棒的運(yùn)動情況，體現(xiàn)了科學(xué)研究常用的思路．