Question

如圖所示，在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O處有一放射源，向四周均勻發(fā)射速度大小相等、方向都平行于紙面的帶電粒子．在放射源右側(cè)有一很薄的擋板，垂直于x軸放置，擋板與xoy平面交線的兩端M、N正好與原點(diǎn)O構(gòu)成等邊三角形，O′為擋板與x軸的交點(diǎn)．在整個(gè)空間中，有垂直于xoy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫(huà)出），帶電粒子在磁場(chǎng)中沿順時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)．已知帶電粒子的質(zhì)量為m，帶電荷量大小為q，速度大小為υ，MN的長(zhǎng)度為L(zhǎng)．（不計(jì)帶電粒子的重力及粒子間的相互作用）
（1）確定帶電粒子的電性；
（2）要使帶電粒子不打在擋板上，求磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值；
（3）要使MN的右側(cè)都有粒子打到，求磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值．（計(jì)算過(guò)程中，要求畫(huà)出各臨界狀態(tài)的軌跡圖）

Answer 1

分析：（1）由磁場(chǎng)方向與偏轉(zhuǎn)方向確定粒子的帶電性質(zhì)
（2）要使y軸右側(cè)所有運(yùn)動(dòng)粒子都不打在 MN板上，其臨界條件為：沿y軸方向運(yùn)動(dòng)的粒子作圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡剛好與MN相切．根據(jù)牛頓第二定律求出電場(chǎng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值
（3）為使MN的右側(cè)都有粒子打到，打在N點(diǎn)的粒子最小半徑的軌跡必為△OMN的外接圓，對(duì)應(yīng)此種情況，由洛倫茲力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律得到磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值

解答：解：
（1）由左手定則可得，粒子帶正電荷．    
（2）設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，帶電粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡半
徑為r，帶電粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛侖茲力提
供，有：qvB=

mv2

r

得r=

mv

qB

                     
由于從O點(diǎn)射出的粒子的速度大小都相同，由上式可知，所有粒子的軌跡半徑都相等．
由幾何知識(shí)可知，為使粒子不打在擋板上，軌跡的半徑最大時(shí)，帶電粒子在O點(diǎn)沿y軸正方向射出，其軌跡剛好與MN相切，如圖甲所示．（2分）
則最大半徑rmax=

1

2

×Lcos30°=

3

4

L
由上式可得，磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值
Bmin=

4 3 mv

3qL

（3）為使MN的右側(cè)都有粒子打到，打在N點(diǎn)的粒子最小半徑的軌跡為圖乙中的圓弧OMN．                   
圖中點(diǎn)O₃為軌跡的圓心，由于內(nèi)接△OMN為正三角形，
由幾何知識(shí)，最小的軌跡半徑為r_min=

L

2cos30°

粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛侖茲力提供，有qvB_max=

mv2

rmin

所以，磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值B_max=

3 mv

qL

點(diǎn)評(píng)：帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，關(guān)鍵是找到軌跡的圓心，由幾何關(guān)系得到半徑，由洛倫茲力提供向心力求解，其中想象粒子可能的運(yùn)動(dòng)情景是比較困難的