Question

20．如圖所示，紙面內(nèi)有一直角坐標系xOy，光屏MN垂直于y軸，在第一象限內(nèi)有垂直于紙面向里，磁感應強度為B的勻強磁場，在第二象限內(nèi)有沿x軸正方向，場強為E的勻強電場，在第三象限內(nèi)有與x軸正方向成45°角斜向下、場強為E的勻強電場，現(xiàn)有一質(zhì)量為m，帶電量為q的粒子（不計重力），從P（-2x₀，-x₀）點沿垂直于電場方向以速度v₀射出，恰好從坐標原點O沿x軸正方向射入磁場．
（1）求粒子從坐標原點O射入磁場時的速度v；
（2）求電場強度E的大��；
（3）如果粒子垂直打在光屏MN上，求粒子從進入磁場到打在屏上的過程中的軌跡長度．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在電場中做類平拋運動，由類平拋運動的規(guī)律可求得射入磁場時的速度；
（2）由帶電粒子在電場中的運動規(guī)律可解得電場強度；
（3）由帶電粒子在磁場中的運動規(guī)律可明確粒子的運動過程，由幾何關(guān)系可明確軌跡長度．

解答 解：（1）粒子從從坐標原點O沿x軸正方向射入磁場，則粒子帶正電，由帶電粒子在電場中做類平拋運動，由幾何關(guān)系可知：
v=$\sqrt{2}$v₀；
（2）如圖，設(shè)電場方向移動的距離為y，垂直電場方向的位移為x，
已知tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=1，
根據(jù)位移偏向角的正切是速度偏向角正切的一半，故有
tanβ=$\frac{y}{x}$=$\frac{1}{2}$．
又知y²+x²=x₀²+（2x₀）²，
則y=x₀，
由幾何關(guān)系可知，粒子在電場方向的運動位移為：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₀，
則有qEy=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
解答E=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2q{x}_{0}}$；
（3）帶電粒子從坐標原點O沿x軸正方向射入磁場后在磁場中做圓周運動，若光屏足夠遠，則粒子從y軸垂直進入第三象限，再返回第一象限，此過程有n個（n=0，1，2，3…），最后粒子經(jīng)過$\frac{1}{4}$周期后打在光屏上，如圖所示是n=1的運動軌跡；
由qvB=$\frac{m{v}^{2}}{R}$，T=$\frac{2πR}{v}$可得粒子做圓周運動的周期T=$\frac{2πm}{Bq}$；
則粒子從進入磁場到打在屏上在磁場的運動時間為t=$\frac{1}{2}$nT+$\frac{1}{4}$T，
粒子從進入磁場到打在屏上在磁場的軌跡長度為s_磁=vt=（$\frac{1}{2}$nT+$\frac{1}{4}$T）v=（2n+1）$\frac{πm{v}_{0}}{\sqrt{2}qB}$，（n，0，1，2，3…），
由v²-v₀²=2as，s_電=2ns可得，
粒子在第二象限的電場中的運動軌跡長度為s_電=2n$\frac{{v}^{2}}{2a}$=2n$\frac{{v}^{2}}{2\frac{qE}{m}}$=4nx₀，
聯(lián)立解得：轉(zhuǎn)過的弧長為：l=s_磁+s_電=（2n+1）$\frac{πm{v}_{0}}{\sqrt{2}qB}$+4nx₀，（n，0，1，2，3…）．
答：（1）粒子從坐標原點O射入磁場時的速度為$\sqrt{2}$v₀；
（2）電場強度E的大小$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2q{x}_{0}}$；
（3）粒子從進入磁場到打在屏上的過程中的軌跡長度為（2n+1）$\frac{πm{v}_{0}}{\sqrt{2}qB}$+4nx₀（n=0，1，2，3…）．

點評 本題考查帶電粒子在組合場中的運動，要明確帶電粒子在磁場中做圓周運動，在電場中做類平拋運動；第一問題可以參考豎直電場進行分析．