Question

如圖所示，在xoy平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)分布有垂直向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=2.5×10^-2T，在第二象限緊貼y軸和x軸放置一對平行金屬板MN（中心軸線過y軸），極板間距d=0.4m，極板與左側(cè)電路相連接．通過移動(dòng)滑動(dòng)頭P可以改變極板MN間的電壓．a(chǎn)、b為滑動(dòng)變阻器的最下端和最上端（滑動(dòng)變阻器的阻值分布均勻），a、b兩端所加電壓U=

3

3

×102V．在MN中心軸線上距y軸距離為L=0.4m處有一粒子源S，沿x軸正方向連續(xù)射出比荷為

q

m

=4.0×106C/kg，速度為v_o=2.0×10⁴m/s帶正電的粒子，粒子經(jīng)過y軸進(jìn)入磁場后從x軸射出磁場（忽略粒子的重力和粒子之間的相互作用）．
（1）當(dāng)滑動(dòng)頭P在ab正中間時(shí)，求粒子射入磁場時(shí)速度的大�。�
（2）當(dāng)滑動(dòng)頭P在ab間某位置時(shí)，粒子射出極板的速度偏轉(zhuǎn)角為α，試寫出粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與α的函數(shù)關(guān)系，并由此計(jì)算粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)滑動(dòng)頭P在ab正中間時(shí)，粒子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，位移大小為L，豎直方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)結(jié)合可求出粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度大�。�
（2）當(dāng)滑動(dòng)頭P在a端時(shí)，平行金屬板MN板間電壓為零，粒子勻速運(yùn)動(dòng)，以速度v₀進(jìn)入磁場中，由牛頓第二定律求出軌跡半徑．當(dāng)滑動(dòng)頭P在ab間某一位置時(shí)，由牛頓第二定律得到軌跡半徑與α的關(guān)系式，由幾何關(guān)系求出粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)軌跡圓心角，即可得到粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的表達(dá)式．當(dāng)板間電壓最大時(shí)，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得到粒子射出極板時(shí)速度最大的偏轉(zhuǎn)角，即可求出粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間．

解答：解：（1）當(dāng)滑動(dòng)頭P在ab正中間時(shí)，極板間電壓U′=

1

2

U，粒子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子射入磁場時(shí)沿y軸方向的分速度為v_y：
  q

U′

d

=ma  ①
  v_y=at      ②
  L=v₀t      ③
粒子射入磁場時(shí)速度的大小設(shè)為v=

v 2 0 + v 2 y

 ④
聯(lián)立解得：v=

13 3

×104m/s≈2.1×10⁴m/s  ⑤
（2）當(dāng)滑動(dòng)頭P在a端時(shí)，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的速度大小為v₀，有
  qv0B=

m v 2 0

R0

  ⑥
解得：R₀=

mv0

qB

=0.2m 
設(shè)粒子射出極板時(shí)速度的大小為v，偏向角為α，在磁場中圓周運(yùn)動(dòng)半徑為R．根據(jù)速度平行四邊形可得：
 v=

v0

cosα

  ⑦
又qvB=

mv2

R

，得R=

mv

qB

  ⑧
由⑥⑦⑧可得：R=

R0

cosα

 ⑨
粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示，圓心為O′，與x軸交點(diǎn)為D，
設(shè)∠O′DO=β，根據(jù)幾何關(guān)系：
 

d

2

+

L

2

tanα=Rcosα+Rsinβ  ⑩
又：

d

2

=

L

2

=R0
解得：sinα=sinβ，得 β=α
粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的周期為T：T=

2πm

qB

     
粒子在磁場中軌跡對應(yīng)的圓心角為 θ=

π

2

+2α
則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t=

θ

2π

T=

π 2 +2α

2π

T，得t=

m(π+4α)

2qB

由此結(jié)果可知，粒子射入磁場時(shí)速度偏轉(zhuǎn)角α越大，則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間就越大．假設(shè)極板間電壓為最大值U=

3

3

×102V
時(shí)粒子能射出電場，則此粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長．
由（1）問規(guī)律可知當(dāng)滑動(dòng)頭P在b端時(shí)，粒子射入磁場時(shí)沿y方向的分速度：vym=

2 3

3

×104m/s    
y方向偏距：y_m=

vym

2

?

L

v0

=

3

15

m＜0.2m，說明粒子可以射出極板．此時(shí)粒子速度偏轉(zhuǎn)角最大，設(shè)為α_m，則
 tana_m=

vym

v0

=

3

3

，得αm=

π

6

          
故粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間：tm=

m(π+4αm)

2qB

，得t_m=

5πm

6qB

         
代入數(shù)值得：tm=

π

12

×10-4s≈2.6×10^-5s．  
答：
（1）當(dāng)滑動(dòng)頭P在ab正中間時(shí)，粒子射入磁場時(shí)速度的大小是2.1×10⁴m/s．
（2）粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與α的函數(shù)關(guān)系是

m(π+4α)

2qB

，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間是2.6×10^-5s．

點(diǎn)評：本題的解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確畫出粒子運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上，根據(jù)幾何知識得到粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與α的關(guān)系式，難度較大．