Question

11．如圖所示，在坐標(biāo)系xoy中，過原點(diǎn)的直線OC與x軸正向的夾角ψ=120°，在OC右側(cè)有一勻強(qiáng)電場；在第二、三象限內(nèi)有一勻強(qiáng)磁場，其上邊界與電場邊界重疊、右邊界為y軸、左邊界為圖中平行于y軸的虛線，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里．一帶正電荷q、質(zhì)量為m的粒子以某一速度自磁場左邊界上的A點(diǎn)射入磁場區(qū)域，并從O點(diǎn)射出，粒子射出磁場的速度方向與x軸的夾角θ=30°，大小為v，粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡為紙面內(nèi)的一段圓弧，且弧的半徑為磁場左右邊界間距的兩倍．粒子進(jìn)入電場后，在電場力的作用下又由O點(diǎn)返回磁場區(qū)域，經(jīng)過一段時間后再次離開磁場．已知粒子從A點(diǎn)射入到第二次離開磁場所用的時間恰好等于粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的周期．忽略重力的影響．求：
（1）粒子經(jīng)過A點(diǎn)時速度的方向和A點(diǎn)到x軸的距離；
（2）粒子兩次經(jīng)過O點(diǎn)的時間間隔；
（3）勻強(qiáng)電場的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合運(yùn)動的軌跡圖象，判斷出圓周運(yùn)動的圓心即兩虛線的交點(diǎn)，再根據(jù)洛倫茲力提供向心力，粒子的速度和A到y(tǒng)軸的距離；
（2）（3）粒子進(jìn)入電場后，在電場力的作用下又由O點(diǎn)返回磁場區(qū)域說明電場力的方向一定與運(yùn)動的方向相反，則電場方向必與v相反；根據(jù)時間關(guān)系求出粒子在電場中運(yùn)動的時間，進(jìn)而求出電場的強(qiáng)度和方向；

解答 解：（1）粒子第一次進(jìn)入磁場時弧的半徑為磁場左右邊界間距的2倍，如圖做運(yùn)動的軌跡，則圓周運(yùn)動的圓心即兩虛線的交點(diǎn)．進(jìn)入磁場時速度必垂直于磁場邊界，由洛倫茲力提供向心力：$qvB=m\frac{v2}{R}$，
得：R=$\frac{mv}{qB}$，
A點(diǎn)到x軸的距離為：$L=R（1-cos30°）=\frac{mv}{qB}（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
（2）（3）設(shè)粒子在磁場中運(yùn)動的周期為T，則：vT=2πR
所以：$T=\frac{2πm}{qB}$，在磁場中運(yùn)動的時間為${t}_{1}=\frac{3{0}^{0}}{36{0}^{0}}T=\frac{T}{12}$
粒子進(jìn)入電場后，在電場力的作用下又由O點(diǎn)返回磁場區(qū)域說明電場力的方向一定與運(yùn)動的方向相反，則電場方向必與v相反，再次進(jìn)入磁場時速度方向也與v相反，將向y軸負(fù)方向偏轉(zhuǎn)做圓周運(yùn)動，運(yùn)動的軌跡如圖1所示：
運(yùn)動時間為${t}_{3}=\frac{12{0}^{0}}{36{0}^{0}}T=\frac{T}{3}$，
則在電場中運(yùn)動的時間為：${t}_{2}=T-{t}_{1}-{t}_{3}=\frac{7T}{12}$
（3）在電場中的運(yùn)動有：-v=v-$\frac{qE}{m}$t₂，
求得：$E=\frac{12Bv}{7π}$
答：（1）粒子經(jīng)過A點(diǎn)時的速度方向平行于X軸，A點(diǎn)到x軸的距離$\frac{mv}{qB}（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
（2）粒子兩次經(jīng)過O點(diǎn)的時間間隔為$\frac{7T}{12}$．
（3）電場方向與v相反，大小$\frac{12Bv}{7π}$；

點(diǎn)評 本題考查帶電粒子在磁場中的運(yùn)動，正確地畫出運(yùn)動的軌跡是解題的關(guān)鍵；同時注意電場中做類平拋運(yùn)動；而在磁場中做的是圓周運(yùn)動，要根據(jù)不同的運(yùn)動性質(zhì)進(jìn)行分析；題目的難度較大．