Question

19．在直角坐標(biāo)系中有P，Q兩點(diǎn)，坐標(biāo)如圖所示，虛線是以原點(diǎn)為圓心的半圓，半圓與x軸圍成的區(qū)域只存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．大量的同種粒子從P點(diǎn)射入磁場(chǎng)，速度方向均在xy平面內(nèi)，與軸正方向的夾角分布在0-180°范圍內(nèi)，粒子在磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R滿足l≤R≤2l，所有粒子均不從半圓虛線邊界射出．已知粒子質(zhì)量為m（重力不計(jì)），帶電量為q（q＞0），磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．
求：（1）經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)速度方向與y軸垂直的粒子的速度大�。�
（2）求虛線半圓的最小半徑和從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q的粒子中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）先作出軌跡圖，由幾何關(guān)系求出半徑，再根據(jù)安培力提供向心力，求出經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)速度方向與y軸垂直的粒子的速度大��；
（2）虛線半圓的最小半徑就是粒子以最大半徑入射時(shí)與半圓相切時(shí)的半徑，從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q的粒子中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最大值就是對(duì)應(yīng)圓心角最大的時(shí)間，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最小值就是對(duì)應(yīng)圓心角最小的時(shí)間；

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力有
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$
從甲圖中可知：$R=\frac{l}{cos30°}$
解得v=$\frac{2\sqrt{3}qBl}{3m}$；
（2）當(dāng)粒子以最大半徑R=2l向x軸負(fù)方向發(fā)出打得粒子剛好與半圓相切時(shí)，虛線半圓的半徑最小
由乙圖的幾何關(guān)系知：l²+R²=（r-R）²
解得：虛線半圓的最小半徑r=$（2+\sqrt{5}）l$
帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期$T=\frac{2πR}{v}$
從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間${t}_{1}=\frac{θ}{360°}T$（其中θ為PQ運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角）
從圖丙中可知：以O(shè)₃位圓心的粒子，圓心角最大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)
由幾何關(guān)系可知半徑$R=\frac{2\sqrt{3}}{3}l$，且滿足l＜R＜2l
由丙圖可知圓心角θ=240°
則從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)為${t}_{1}=\frac{4πm}{3qB}$
以Q₄為圓心的粒子圓心角最小，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短
半徑R=2l
由丙圖知圓心角θ為60°
則從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短為${t}_{2}=\frac{πm}{3qB}$；
答：（1）經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)速度方向與y軸垂直的粒子的速度大小為v=$\frac{2\sqrt{3}qBl}{3m}$； 
（2）虛線半圓的最小半徑為r=$（2+\sqrt{5}）l$；從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q的粒子中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最大值為${t}_{1}=\frac{4πm}{3qB}$，最小值為${t}_{2}=\frac{πm}{3qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是按照解決帶電粒子在運(yùn)動(dòng)的一般步驟，找圓心，確定半徑，畫軌跡．尋找臨界條件，求出虛線半圓的最小半徑和從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q的粒子中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最大值和最小值．