Question

如圖所示，在豎直面內(nèi)有固定軌道ABCDE，其中BC是半徑為R的四分之一圓弧軌道，AB（AB＞R）是豎直軌道，CE是足夠長的水平軌道，CD＞R．AB與BC相切于B點(diǎn)，BC與CE相切于C點(diǎn)，軌道的AD段光滑，DE段粗糙且足夠長．一根長為R的輕桿兩端分別固定有質(zhì)量均為m的相同小球P、Q（視為質(zhì)點(diǎn)），將輕桿鎖定在圖示位置，此位置Q與B等高．現(xiàn)解除鎖定釋放輕桿，輕桿將沿軌道下滑，Q球經(jīng)過D點(diǎn)后，沿軌道繼續(xù)滑行了3R而停下．重力加速度為g．求：
（1）P球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大小v₁；
（2）兩小球與DE段軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；
（3）Q球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大小v₂．

Answer 1

分析：（1）以兩球組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，下滑過程中，Q的重力勢(shì)能減小mgR，P的重力勢(shì)能減小2mgR，由機(jī)械能守恒即可求出v₁；
（2）產(chǎn)生的內(nèi)能為μmg2R+μmg3R，根據(jù)能量守恒求解小球與DE段之間的動(dòng)摩擦因數(shù)；
（3）Q球從下滑到到達(dá)C點(diǎn)的過程中，P球重力勢(shì)能減小mg（1+sin30°）R，Q球重力勢(shì)能減小mgR，都轉(zhuǎn)化為兩球動(dòng)能，由機(jī)械能守恒求出Q球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大�。�

解答：解：（1）以兩球?yàn)檠芯繉?duì)象，由機(jī)械能守恒得：
mgR+mg2R=

1

2

×2mv12
解得：v₁=

6gR

；
（2）分析滑行過程如圖所示，P球產(chǎn)生內(nèi)能μmg2R，Q球產(chǎn)生內(nèi)能μmg3R，
由能量守恒得：mgR+mg2R=μmg2R+μmg3R
解得：μ=0.6；
（3）輕桿由釋放到Q球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，因?yàn)镻、Q兩球的速度大小相等，則有：
mgR+mg（1+sin30°）R=

1

2

×2mv22
解得：v₂=

5gr 2

；
答：（1）P球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大小為

6gR

；
（2）兩小球與DE段軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.6；
（3）Q球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大小為

5gR 2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是系統(tǒng)能量守恒問題，要分兩個(gè)過程研究，沒有摩擦?xí)r，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，有摩擦?xí)r能量守恒．