Question

10．如圖，小球a、b質(zhì)量均為m，b球用長h的細(xì)繩（承受最大拉力為2.8mg）懸掛于水平軌道BC（距地高0.5h）的出口C處．a(chǎn)球從距BC高h(yuǎn)的A處由靜止釋放后，沿ABC光滑軌道滑下，在C處與b球正碰并與b粘在一起．ED是放在水平地面上長為3R的墊子，試問：

（1）a與b球碰后瞬間的速度大��？
（2）a、b兩球碰后，細(xì)繩是否會(huì)斷裂？
（3）小球a、b兩球碰后，繩子斷裂，欲使小球能通過C點(diǎn)落到墊子外，小球在A點(diǎn)下滑高度H 至少是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出a球與b球碰撞前的速度，結(jié)合動(dòng)量守恒定律求出碰后的速度大�。�
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出細(xì)繩的拉力，判斷細(xì)繩是否會(huì)斷裂．
（3）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的高度得出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，結(jié)合水平位移和時(shí)間求出平拋運(yùn)動(dòng)的初速度，結(jié)合動(dòng)量守恒和動(dòng)能定理求出小球從A點(diǎn)下落的最小高度．

解答 解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理知，$mgh=\frac{1}{2}m{{v}_{a}}^{2}$，解得a球與b球碰撞前的速度為：${v}_{a}=\sqrt{2gh}$，
規(guī)定向左為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得，mv_a=2mv，解得a與b碰后瞬間的速度大小為：v=$\frac{{v}_{a}}{2}=\frac{\sqrt{2gh}}{2}$．
（2）根據(jù)牛頓第二定律得：$T-2mg=2m\frac{{v}^{2}}{h}$，解得：T=3mg＞2.8mg，可知細(xì)繩斷裂．
（3）根據(jù)0.5h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：t=$\sqrt{\frac{h}{g}}$，
則落在墊子外平拋運(yùn)動(dòng)的最小初速度為：${v}_{0}=\frac{3R}{t}=3R\sqrt{\frac{g}{h}}$，
根據(jù)動(dòng)能定理得：$mgH=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
根據(jù)動(dòng)量守恒得，mv=2mv₀，
解得：H=$\frac{18{R}^{2}}{h}$．
答：（1）a與b球碰后瞬間的速度大小為$\frac{\sqrt{2gh}}{2}$；
（2）細(xì)繩會(huì)斷裂；
（3）小球在A點(diǎn)下滑高度H 至少是$\frac{18{R}^{2}}{h}$．

點(diǎn)評 本題考查了平拋運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)與動(dòng)量守恒定律、動(dòng)能定理、牛頓第二定律的綜合，知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以及圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源是解決本題的關(guān)鍵．