Question

19．如圖所示，傾角為θ=53°的平行光滑金屬導(dǎo)軌EF、PQ相距為L=1m，導(dǎo)軌的下端E、P間接有定值電阻R=1Ω，水平虛線上方有垂直于導(dǎo)軌平面向上的勻強磁場，磁感應(yīng)強度B=1T．水平虛線下方有一放在導(dǎo)軌上的金屬棒ab，金屬棒與一細線連接，細線通過一定滑輪吊一個重物，細線與導(dǎo)軌所在平面平行．釋放重物，細線若拉著金屬棒向上運動，金屬棒運動過程中，始終與導(dǎo)軌垂直，其與導(dǎo)軌接觸良好．已知開始時金屬棒與虛線的距離為s₁=0.5m，金屬棒的質(zhì)量m=1kg，電阻r=0.5Ω，長度等于軌道間距．導(dǎo)軌的電阻不計，重物的質(zhì)量為M=1kg（重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6）．求：
（1）金屬棒剛進入磁場時的速度；
（2）已知金屬棒進入磁場后又運動s₂=6m開始勻速運動，求金屬棒從開始運動到勻速運動所用的時間．

Answer 1

分析 （1）選金屬棒與重物組成的系統(tǒng)作為研究對象，對系統(tǒng)運用動能定理，即可求出金屬棒剛進入磁場時的速度v₁；
（2）根據(jù)牛頓第二定律結(jié)合運動學(xué)規(guī)律求解金屬棒在磁場外運動的時間為t₁，金屬棒進入磁場后做加速度逐漸減小的變加速直線運動，利用動量定理結(jié)合微積分的思想去求解金屬棒在磁場中運動的時間t₂，將t₁、t₂加和即可．

解答 解：（1）設(shè)棒進入磁場時的速度大小為v₁，
根據(jù)動能定理得：$Mg{s_1}-mgsinθ•{s_1}=\frac{1}{2}（M+m）v_1^2$
可得：v₁=$\sqrt{\frac{2（Mg{s}_{1}-mgsinθ•{s}_{1}）}{M+m}}$=$\sqrt{\frac{2（1×10×0.5-1×10×0.8×0.5）}{1+1}}$m/s=1m/s ①
（2）根據(jù)牛頓第二定律：Mg-mgsinθ=（M+m）a₁；
可得進入磁場前的加速度：a₁=1m/s²
根據(jù)勻變速直線運動規(guī)律：v₁=a₁t₁
可得進入磁場前的時間：t₁=1s
分析可知，棒進入磁場后做加速度a逐漸減小的變加速直線運動，可知當(dāng)a=0時，速度達到最大值v_m，之后以v_m勻速；
則：$Mg-mgsinθ-\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R+r}=0$
解得：v_m=3m/s②
聯(lián)立①②式．可得粒子進入磁場到勻速過程的速度變化量：△v=v_m-v₁=2m/s③
電流定義式：$\stackrel{__}{I}$=$\frac{q}{△t}$④
閉合電路歐姆定律：$\stackrel{__}{I}$=$\frac{\stackrel{__}{E}}{R+r}$⑤
法拉第電磁感應(yīng)定律：$\stackrel{__}{E}$=n$\frac{△Φ}{△t}$⑥，根據(jù)題意n=1
粒子進入磁場到勻速過程磁通量的變化量：△Φ=BLs₂⑦
聯(lián)立④⑤⑥⑦式，可得粒子進入磁場到勻速過程流過的電荷量：q=$\frac{BL{s}_{2}}{R+r}$⑧
將金屬棒進入磁場后一直到勻速的過程分成n個時間極短的小過程，設(shè)每個小過程的時間均為△t；
則n△t=t₂
因為△t極短，所以每個小過程的電流為定值，設(shè)其大小分別為I₁，I₂，I₃，…I_n，對應(yīng)過程的加速度大小分別為a₁，a₂，a₃，…a_n；
針對每一個小過程對金屬棒和重物組成的系統(tǒng)運用定量定理可得：
第1個小過程：Mg△t-mgsinθ•△t-BLI₁△t=（M+m）a₁△t
第2個小過程：Mg△t-mgsinθ•△t-BLI₂△t=（M+m）a₂△t
第3個小過程：Mg△t-mgsinθ•△t-BLI₃△t=（M+m）a₃△t
…
第n個小過程：Mg△t-mgsinθ•△t-BLI_n△t=（M+m）a_n△t
將上述n個式子做和可得：Mgt₂-mgsinθ•t₂-BL（I₁△t+I₂△t+I₃△t+…+I_n△t）=（M+m）（a₁△t+a₂△t+a₃△t+…+a_n△t）⑨
其中：I₁△t+I₂△t+I₃△t+…+I_n△t=q ⑩
a₁△t+a₂△t+a₃△t+…+a_n△t=△v⑪
將⑩⑪代入⑨式得：Mgt₂-mgsinθ•t₂-BLq=（M+m）△v⑫
聯(lián)立③⑧⑫式，代入題給數(shù)據(jù)得：t₂=4s
所以金屬棒從開始運動到勻速運動所用的總時間：t=t₁+t₂=5s
答：（1）金屬棒剛進入磁場時的速度為1m/s；
（2）已知金屬棒進入磁場后又運動s₂=6m開始勻速運動，金屬棒從開始運動到勻速運動所用的時間為5s．

點評 本題考查導(dǎo)體棒切割磁場的力電綜合問題，注意根據(jù)其運動形式選擇相應(yīng)的規(guī)律解決，第一問也可也運用牛頓第二定律結(jié)合運動學(xué)公式的方法求解；第二問難度較大，先微分再積分，大家注意理解積分的物理意義，即：求解圖象與橫軸圍成的面積；⑩⑪兩式可以用I-t圖象和a-t圖象與t軸圍成的下面積去理解，I-t圖象與t軸圍成的下面積表示流過的電量，a-t圖象與t軸圍成的下面積表示速度的變化量．