Question

如圖所示，AB和CDO都是處于豎直平面內(nèi)的光滑圓弧形軌道，OA處于水平位置．AB是半徑為R=2m的

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圓周軌道，CDO是半徑為r=1m的半圓軌道，最高點(diǎn)O處固定一個(gè)豎直彈性檔板．D為CDO軌道的中央點(diǎn)．BC段是水平粗糙軌道，與圓弧形軌道平滑連接．已知BC段水平軌道長(zhǎng)L=2m，與小球之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.4．現(xiàn)讓一個(gè)質(zhì)量為m=1kg的小球P從A點(diǎn)的正上方距水平線OA高H處自由落下．（取g=10m/s²）
（1）當(dāng)H=1.4m時(shí)，問(wèn)此球第一次到達(dá)D點(diǎn)對(duì)軌道的壓力大�。�
（2）當(dāng)H=1.4m時(shí)，試通過(guò)計(jì)算判斷此球是否會(huì)脫離CDO軌道．如果會(huì)脫離軌道，求脫離前球在水平軌道經(jīng)過(guò)的路程．如果不會(huì)脫離軌道，求靜止前球在水平軌道經(jīng)過(guò)的路程．

Answer 1

（1）設(shè)小球第一次到達(dá)D的速度V_D，P到D點(diǎn)的過(guò)程對(duì)小球根據(jù)動(dòng)能定理列式，有：
mg（H+r）-μmgL=

1

2

mV_D²
在D點(diǎn)對(duì)小球列牛頓第二定律：F_N=m

v 2D

r

聯(lián)立解得：F_N=32N
（2）第一次來(lái)到O點(diǎn)，速度V₁
P到O點(diǎn)的過(guò)程對(duì)小球根據(jù)動(dòng)能定理列式，有：
mgH-μmgL=

1

2

mV₁²
解得：V₁²=12
要能通過(guò)O點(diǎn)，須mg＜m

v2

r

臨界速度V_O²=10
故第一次來(lái)到O點(diǎn)之前沒(méi)有脫離，第二次來(lái)到D點(diǎn)是沿著原路返回，設(shè)第三次來(lái)到D點(diǎn)的動(dòng)能E_K
對(duì)之前的過(guò)程根據(jù)動(dòng)能定理列式，有：
mg（H+r）-3μmgL=E_K
代入解得：E_K=0
故小球一直沒(méi)有脫離CDO軌道
設(shè)此球靜止前在水平軌道經(jīng)過(guò)的路程S
對(duì)全過(guò)程根據(jù)動(dòng)能定理列式，有：
mg（H+R）-μmgS=0
解得：S=8.5m
答：（1）當(dāng)H=1.4m時(shí)，此球第一次到達(dá)D點(diǎn)對(duì)軌道的壓力大小為32N．（2）當(dāng)H=1.4m時(shí)，此球不會(huì)脫離CDO軌道，靜止前球在水平軌道經(jīng)過(guò)的路程為8.5m．