Question

3．如圖所示，一個足夠長的斜面，AC部分的長度為4L，C點(diǎn)以下光滑，C點(diǎn)以上粗糙，B是AC的中點(diǎn)．一根原長為2L的輕彈簧下端固定在A點(diǎn)，上端放置一個長為L、質(zhì)量為m的均勻木板PQ，木板靜止時，彈簧長度變?yōu)?\frac{7}{4}$L．已知斜面的傾角為θ，木板與斜面粗糙部分的動摩擦因數(shù)μ=2tanθ，木板受到的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g．現(xiàn)將木板沿斜面緩慢下壓，當(dāng)彈簧長度變?yōu)長時，釋放木板，發(fā)現(xiàn)木板的Q端剛好能到達(dá)C點(diǎn)；將木板截短后，再次將木板沿斜面緩慢下壓，當(dāng)彈簧長度變?yōu)長時，釋放木板，求：
（1）彈簧的勁度系數(shù)；
（2）若木板被截掉一半，木板上端到達(dá)C點(diǎn)時的速度大�。�
（3）至少要將木板截掉多少，木板被釋放后能靜止在斜面上？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)木板靜止時，對木板受力分析，運(yùn)用平衡條件和胡克定律求彈簧的勁度系數(shù)．
（2）木板從被釋放至Q端到C點(diǎn)，利用動能定理列式．木板被截掉一半后再被彈簧彈開，再運(yùn)用動能定理列式，聯(lián)立可得木板上端到達(dá)C點(diǎn)時的速度．
（3）木板剩下的越短，被彈簧彈開后越能靜止在斜面上．木板被彈開后恰好可以靜止在斜面上時，重力沿斜面向下的分力等于最大靜摩擦力．由此列式可得到截掉后剩余木板有一半在C點(diǎn)以上就可靜止在斜面上．再由動能定理求解．

解答 解：（1）當(dāng)木板靜止時，對木板受力分析，由力的平衡有：
k$\frac{L}{4}$=mgsinθ
解得彈簧的勁度系數(shù)為：k=$\frac{4mgsinθ}{L}$
（2）木板從被釋放至Q端到C點(diǎn)，設(shè)彈簧彈力做功為W，由動能定理有：
W-mg•2Lsinθ=0
木板被截掉一半后再被彈簧彈開，設(shè)木板上端到達(dá)C點(diǎn)時的速度為v，由動能定理有：
W-$\frac{1}{2}mg•\frac{5}{2}Lsinθ$=$\frac{1}{2}•\frac{m}{2}{v}^{2}$
解以上兩式得：v=$\sqrt{3gLsinθ}$
（3）木板剩下的越短，被彈簧彈開后越能靜止在斜面上．
設(shè)木板長為x時被彈開后恰好可以靜止在斜面上，此木板必然一部分在C點(diǎn)上方，一部分在C點(diǎn)下方．假設(shè)在C點(diǎn)上方的木板長度為a，則有：$\frac{x}{L}$mgsinθ=μ$\frac{a}{L}$mgcosθ    
解得：a=$\frac{x}{2}$
這表明，截掉后剩余木板有一半在C點(diǎn)以上就可靜止在斜面上．剩余木板被彈開后直到靜止的過程中，由動能定理有：
W-$\frac{x}{L}$mg（3L-$\frac{x}{2}$）sinθ-$\frac{1}{2}•\frac{x}{2}•\frac{m}{L}μgcosθ•\frac{x}{2}$=0
解得：x=$（6-2\sqrt{7}）$L
即木板被截下的長度至少為：△x=L-x=（2$\sqrt{7}$-5）L
答：（1）彈簧的勁度系數(shù)是$\frac{4mgsinθ}{L}$；
（2）若木板被截掉一半，木板上端到達(dá)C點(diǎn)時的速度大小是$\sqrt{3gLsinθ}$；
（3）至少要將木板截掉（2$\sqrt{7}$-5）L，木板被釋放后能靜止在斜面上．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵要抓住木板恰好靜止在斜面上的臨界條件：重力沿斜面向下的分力等于最大靜摩擦力．運(yùn)用動能定理時，要注意選取研究的過程．