Question

13．如圖所示，兩根等高光滑的$\frac{1}{4}$圓弧軌道，半徑為r、間距為L(zhǎng)，軌道電阻不計(jì)．在軌道頂端連有一阻值為R的電阻，整個(gè)裝置處在一豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．現(xiàn)有一根長(zhǎng)度稍大于L、電阻為$\frac{R}{2}$，質(zhì)量為m的金屬棒從軌道最低位置cd開始，以初速度v₀自行滑向軌道，最后剛好能運(yùn)動(dòng)到ab處，重力加速度為g，求：
（1）金屬棒剛進(jìn)入軌道時(shí)，cd兩點(diǎn)間的電勢(shì)差．
（2）該過程中通過R的電量．
（3）該過程中通過R上產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路歐姆定律可得cd兩點(diǎn)間的電勢(shì)差；
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可得平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)閉合電路的歐姆定律平均電流，根據(jù)電荷量的計(jì)算公式求解通過R的電量；
（3）根據(jù)功能關(guān)系求解整個(gè)過程中產(chǎn)生的熱量，再根據(jù)根據(jù)焦耳定律求解R上產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）金屬棒剛進(jìn)入軌道時(shí)，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E=BLv₀，
根據(jù)歐姆定律可得cd兩點(diǎn)間的電勢(shì)差為：U=$\frac{E}{R+\frac{R}{2}}$×R=$\frac{2}{3}BL{v}_{0}$；
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可得平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：$\overline{E}=\frac{△Φ}{△t}$，
根據(jù)閉合電路的歐姆定律可得：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R+\frac{1}{2}R}$，
該過程中通過R的電量為：q=$\overline{I}$△t=$\frac{△Φ}{R+\frac{R}{2}}$=$\frac{2BLr}{3R}$；
（3）根據(jù)功能關(guān)系可得，整個(gè)過程中產(chǎn)生的熱量為：Q_總=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-mgr$，
根據(jù)焦耳定律可得通過R上產(chǎn)生的熱量為：Q=$\frac{{Q}_{總}(cāng)}{R+\frac{1}{2}R}•R$=$\frac{1}{3}m{v}_{0}^{2}-\frac{2}{3}mgr$．
答：（1）金屬棒剛進(jìn)入軌道時(shí)，cd兩點(diǎn)間的電勢(shì)差為$\frac{2}{3}BL{v}_{0}$．
（2）該過程中通過R的電量為$\frac{2BLr}{3R}$．
（3）該過程中R上產(chǎn)生的熱量為$\frac{1}{3}m{v}_{0}^{2}-\frac{2}{3}mgr$．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于電磁感應(yīng)問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下物體的平衡問題；另一條是能量，分析電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量如何轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．