Question

如圖所示，在xoy平面內(nèi)存在B=2T的勻強(qiáng)磁場，OA與OCA為置于豎直平面內(nèi)的光滑金屬導(dǎo)軌，其中OCA滿足曲線方程x=0.5sin

π

5

y，C為導(dǎo)軌的最右端，導(dǎo)軌OA與OCA相交處的O點(diǎn)和A點(diǎn)分別接有體積可忽略的定值電阻R₁=6Ω和R₂=12Ω．現(xiàn)有一長L=1m、質(zhì)量m=0.1kg的金屬棒在豎直向上的外力F作用下，以v=2m/s的速度向上勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)棒與兩導(dǎo)軌接觸良好，除電阻R₁、R₂外其余電阻不計(jì)，重力加速度為g，求：
（1）金屬棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí)R₂上消耗的最大功率；
（2）外力F的最大值．

Answer 1

分析：（1）金屬棒沿導(dǎo)軌豎直向上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場中切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢．當(dāng)金屬棒勻速運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，電路中感應(yīng)電動(dòng)勢最大，產(chǎn)生的感應(yīng)電流最大，根據(jù)感應(yīng)電動(dòng)勢公式E_m=Bl_mv求出感應(yīng)電動(dòng)勢，由公式P=

E 2 m

R2

求解R₂上消耗的最大功率；
（2）金屬棒相當(dāng)于電源，外電路中R₁、R₂并聯(lián)，先求出并聯(lián)阻值．再根據(jù)閉合電路歐姆定律求出感應(yīng)電流的最大值I，最大安培力為 F_安=BIx_m．即可求解．

解答：解：（1）金屬棒向上勻速運(yùn)動(dòng)的過程中切割磁感線，產(chǎn)生電動(dòng)勢，接入電路的有效長度即為OCA導(dǎo)軌形狀所滿足的曲線方程，因此接入電路的金屬棒長度為：
l=x=0.5sin

π

5

y
所以當(dāng)棒運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢最大，即：
E_m=Bl_mv=Bx_mv=2×0.5×2V=2V
電阻R₁、R₂并聯(lián)，此時(shí)R₂上消耗的功率最大，最大值為：
P₂=

E 2 m

R2

=

22

12

W=

1

3

W≈0.33W
（2）金屬棒相當(dāng)于電源，外電路中R₁、R₂并聯(lián)，其并聯(lián)阻值為：
R=

R1R2

R1+R2

=

6×12

6+12

Ω=4Ω
通過金屬棒的最大電流為：
I=

Em

R

=

2

4

A=0.5A
所以最大安培力為：
F_安=BIx_m=2×0.5×0.5A=0.5N
因?yàn)榻饘侔羰芰ζ胶猓�所以外力的最大值為�?br />F=F_安+mg=0.5N+1N=1.5N
答：（1）金屬棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí)R₂上消耗的最大功率約為0.33W；
（2）外力F的最大值為1.5N．

點(diǎn)評(píng)：本題金屬棒產(chǎn)生的是正弦式交變電流，解得本題關(guān)鍵要能分析出什么時(shí)候感應(yīng)電動(dòng)勢最大，知道哪部分是電源，哪部分是外電路，知道電路的連接關(guān)系．難度中等．