Question

6．如圖甲所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上．在xOy平面內(nèi)有與y軸平行的勻強(qiáng)電場（電場區(qū)域足夠大，圖中未畫出），現(xiàn)在垂直于xOy平面加一足夠大的磁場（如圖乙所示，設(shè)向外為磁場的正方向，B₀知值）．在t=0刻，一個質(zhì)量為m電量為q帶正電小球，從坐標(biāo)原點(diǎn)D處以v₀度沿直線OP方向運(yùn)動，為使小球能在以后的運(yùn)動中垂直O(jiān)P連線方向通過D（4L，3L）點(diǎn)，取g=10m/s²，求：

（1）場強(qiáng)的大小和方向；
（2）滿足條件的t₁表達(dá)式；
（3）進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)，通過D點(diǎn)之后小球的運(yùn)動具有周期性，試求出此運(yùn)動的周期．

Answer 1

分析 （1）小球做勻速直線運(yùn)動，處于平衡狀態(tài)，由平衡條件可以求出電場強(qiáng)度．
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，由牛頓第二定律求出粒子的軌道半徑，作出粒子運(yùn)動軌跡，然后求出粒子的時間．
（3）根據(jù)粒子做圓周運(yùn)動的周期公式，分析清楚粒子的運(yùn)動過程，求出運(yùn)動周期．

解答 解：（1）0-t₁內(nèi)無磁場，小球在重力和電場力作用下沿v₀方向做勻速直線運(yùn)動，
有：qE-mg=0，解得：$E=\frac{mg}{q}$，方向豎直向上；
（2）在t₁以后的t₀時間里，小球在洛侖茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動，
設(shè)其半徑為R，由牛頓第二定律得：$q{B_0}{v_0}=\frac{mv_0^2}{R}$，解得：$R=\frac{{m{v_0}}}{{q{B_0}}}$，
根據(jù)題意，要使小球的運(yùn)動方向改變270°（然后沿直線運(yùn)動），只能足勻速運(yùn)動到D點(diǎn)以后的某個位置，
在磁場中運(yùn)動$\frac{3}{4}$個周期（當(dāng)然可再持續(xù)nT₀，然后沿直線垂直通過D點(diǎn)，如圖CD距離應(yīng)等于圓周運(yùn)動的半徑R，
在t₁時間內(nèi)小球由O點(diǎn)勻速運(yùn)動到C點(diǎn)，對應(yīng)位移：$s=\sqrt{（4L）_{\;}^2+{{（3L）}^2}}+R$，
故：${t_1}=\frac{5L+R}{v_0}$，代入得：${t_1}=\frac{5L}{v_0}+\frac{m}{{q{B_0}}}$；
（3）由圖可知小球做勻速圓周的周期：${T_0}=\frac{2πR}{v_0}=\frac{2πm}{{{B_0}q}}$，
考慮簡單情況：t₀=$\frac{3}{4}$T  （對應(yīng)$\frac{3}{4}$圈），小球做整個大回旋的周期T=8t₀，
代入得：$T=\frac{12πm}{{{B_0}q}}$，考慮到周期性，則：$T=8（\frac{3}{4}+n）{T_0}$  n=0、1、2、3…；
答：（1）場強(qiáng)的大小為：$\frac{mg}{q}$，方向：豎直向上；
（2）滿足條件的t₁表達(dá)式為：${t_1}=\frac{5L}{v_0}+\frac{m}{{q{B_0}}}$；
（3）此運(yùn)動的周期：$T=8（\frac{3}{4}+n）{T_0}$  n=0、1、2、3…．

點(diǎn)評 本題考查了求電場強(qiáng)度、時間與周期問題，分析清楚粒子運(yùn)動過程是正確解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用平衡條件、牛頓第二定律、粒子做圓周運(yùn)動的周期公式即可正確解題．