Question

【題目】如圖所示，傾角為θ＝30°、寬度為d＝1 m、長(zhǎng)為L＝4 m的光滑傾斜導(dǎo)軌，導(dǎo)軌C1D1、C2D2頂端接有定值電阻R0＝15 Ω，傾斜導(dǎo)軌置于垂直導(dǎo)軌平面斜向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B＝5 T，C1A1、C2A2是長(zhǎng)為s＝4.5 m的粗糙水平軌道，A1B1、A2B2是半徑為R＝0.5 m處于豎直平面內(nèi)的1/4光滑圓環(huán)(其中B1、B2為彈性擋板)，整個(gè)軌道對(duì)稱．在導(dǎo)軌頂端垂直于導(dǎo)軌放一根質(zhì)量為m＝2 kg、電阻不計(jì)的金屬棒MN，當(dāng)開(kāi)關(guān)S閉合時(shí)，金屬棒從傾斜軌道頂端靜止釋放，已知金屬棒到達(dá)傾斜軌道底端前已達(dá)到最大速度，當(dāng)金屬棒剛滑到傾斜導(dǎo)軌底端時(shí)斷開(kāi)開(kāi)關(guān)S，(不考慮金屬棒MN經(jīng)過(guò)C1、C2處和棒與B1、B2處彈性擋板碰撞時(shí)的機(jī)械能損失，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中金屬棒始終保持水平，水平導(dǎo)軌與金屬棒MN之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ＝0.1，g＝10 m/s2)．求：

(1)開(kāi)關(guān)閉合時(shí)金屬棒滑到傾斜軌道底端時(shí)的速度大小；

(2)金屬棒MN在傾斜導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，電阻R0上產(chǎn)生的熱量Q；

(3)已知金屬棒會(huì)多次經(jīng)過(guò)圓環(huán)最低點(diǎn)A1A2，求金屬棒經(jīng)過(guò)圓環(huán)最低點(diǎn)A1A2時(shí)對(duì)軌道壓力的最小值．

Answer 1

【答案】(1)6m/s (2) 4 J (3)56 N，方向豎直向下

【解析】試題分析：開(kāi)關(guān)閉時(shí)，金屬棒下滑時(shí)切割磁感線運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，產(chǎn)生感應(yīng)電流，受到沿斜面向上的安培力，做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)加速度為0時(shí)，速度最大．根據(jù)牛頓第二定律和安培力與速度的關(guān)系式結(jié)合，求解即可；下滑過(guò)程中，重力勢(shì)能減小，動(dòng)能增加，內(nèi)能增加，根據(jù)能量守恒求出整個(gè)電路產(chǎn)生的熱量，從而求出電阻R0上產(chǎn)生的熱量；由能量守恒定律求出金屬棒第三次經(jīng)過(guò)A1A2時(shí)速度，對(duì)金屬棒進(jìn)行受力分析，由牛頓定律即可求解。

（1）金屬棒沿導(dǎo)軌下滑，速度增大，感應(yīng)電流增大，安培力增大，加速度減小，當(dāng)加速度減小到零時(shí)，金屬棒受到的合外力為零，速度增加到最大，此后金屬棒就以最大速度做勻速運(yùn)動(dòng)．對(duì)金屬棒受力分析如圖所示：

由力的平衡方程：F安＝mgsinθ

當(dāng)金屬棒最大速度時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E＝Bdvm

感應(yīng)電流為：

安培力為：F安＝BId

聯(lián)立以上并代入數(shù)據(jù)解得金屬棒的最大速度為：vm=6m/s

(2)金屬棒MN在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，重力勢(shì)能減少，動(dòng)能增加，同時(shí)產(chǎn)生焦耳熱，由能量守恒定律可知，減少的重力勢(shì)能等于增加的動(dòng)能與焦耳熱之和：

解得電阻R0上產(chǎn)生的熱量：Q=4 J

(3)當(dāng)金屬棒剛滑到傾斜導(dǎo)軌底端時(shí)已斷開(kāi)開(kāi)關(guān)S，故金屬棒再滑回傾斜的軌道上時(shí)， 不再產(chǎn)生安培力，根據(jù)動(dòng)能定理得：

解得：n=4

從金屬棒滑上水平軌道到第三次經(jīng)過(guò)A1A2，重力做的總功為零，相當(dāng)于只有摩擦力做功，由動(dòng)能定理得：

在A1A2對(duì)金屬棒受力分析，支持力與重力的合力提供向心力，

根據(jù)牛頓第二定律得：FN－mg＝mv2/R

聯(lián)立以上并代入數(shù)據(jù)解得：FN=56 N

根據(jù)牛頓第三定律，金屬棒對(duì)軌道的壓力：FN′=FN=56 N，方向豎直向下