Question

16．如圖所示，小物塊A、B由跨過定滑輪的輕繩相連，A置于傾角為37°的光滑固定斜面上，B位于水平傳送帶的左端，輕繩分別與斜面、傳送帶平行．傳送帶始終以速度v₀=2m/s向右勻速運(yùn)動，某時刻B從傳送帶左端以速度v₁=6m/s向右運(yùn)動，經(jīng)一段時間回到傳送帶的左端．已知A、B質(zhì)量均為1kg，B與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為0.2，斜面、輕繩、傳送帶均足夠長，A不會碰到定滑輪，定滑輪的質(zhì)量與摩擦均不計．g取10m/s²，sin37°=0.6．求：
（1）B向右運(yùn)動的總時間；
（2）B回到傳送帶左端時的速度；（計算結(jié)果可用根號表示）

Answer 1

分析 （1）B向右運(yùn)動的過程中分別以A與B為研究的對象，結(jié)合牛頓第二定律先求出加速度，然后由運(yùn)動學(xué)的公式求出運(yùn)動的時間；
（2）B向左運(yùn)動的過程中B為研究的對象，結(jié)合牛頓第二定律先求出加速度，然后由運(yùn)動學(xué)的公式求出B回到傳送帶左端的速度；

解答 解：（1）B向右運(yùn)動減速運(yùn)動的過程中，剛開始時，B的速度大于傳送帶的速度，以B為研究的對象，水平方向B受到向左的摩擦力與A對B的拉力，設(shè)AB之間繩子的拉力為T₁，以向左為正方向，得：T₁+μmg=ma₁  ①
以A為研究的對象，則A的加速度的大小始終與B是相等的，A向上運(yùn)動的過程中受力如圖，則：

T₁-mgsin37°=ma₁   ②
聯(lián)立①②可得：${a}_{1}=\frac{gsin37°+μg}{2}=\frac{10×0.6+0.2×10}{2}=4m/{s}^{2}$  ③
B的速度與傳送帶的速度相等時所用的時間：${t}_{1}=\frac{{v}_{0}-{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{-2-（-6）}{4}=1s$
當(dāng)B的速度與傳送帶的速度相等之后，B仍然做減速運(yùn)動，而此時B的速度小于傳送帶的速度，所以受到的摩擦力變成了向右，所以其加速度也發(fā)生了變化，此后B向右運(yùn)動減速運(yùn)動的過程中，設(shè)AB之間繩子的拉力為T₂，以B為研究的對象，水平方向B受到向右的摩擦力與A對B的拉力，則：
T₂-μmg=ma₂  ④
以A為研究的對象，則A的加速度的大小始終與B是相等的，A向上運(yùn)動的過程中受力如圖，則：
mgsin37°-T₂=ma₂  ⑤
聯(lián)立④⑤可得：${a}_{2}=\frac{gsin37°-μg}{2}=\frac{10×0.6-0.2×10}{2}=2m/{s}^{2}$
當(dāng)B向右達(dá)到最右端時的速度等于0，再經(jīng)過時間：${t}_{2}=\frac{0-{v}_{0}}{{a}_{2}}=\frac{0-（-2）}{2}=1s$
B向右運(yùn)動的總時間：t=t₁+t₂=1s+1s=2s
（2）B向左運(yùn)動的過程中，受到的摩擦力的方向仍然向右，仍然受到繩子的拉力，同時，A受到的力也不變，所以它們受到的合力不變，所以B的加速度${a}_{3}={a}_{2}=2m/{s}^{2}$
t₁時間內(nèi)B的位移：${x}_{1}=\frac{{v}_{0}+{v}_{1}}{2}{t}_{1}=\frac{-2-6}{2}×1=-4m$，負(fù)號表示方向向右；
t₂時間內(nèi)B的位移：${x}_{1}=\frac{{v}_{0}+0}{2}{t}_{1}=\frac{-2}{2}×1=-1m$，負(fù)號表示方向向右；
B的總位移：x=x₁+x₂=-4-1=-5m
B回到傳送帶左端的位移：x₃=-x=5m
速度：$v=\sqrt{2{a}_{3}{x}_{3}}=2\sqrt{5}m/s$
答：（1）B向右運(yùn)動的總時間為2s；
（2）B回到傳送帶左端時的速度為$2\sqrt{5}m/s$．

點(diǎn)評 該題中，開始時物體的速度大于傳送帶的速度，減速后的速度小于傳送帶的速度，所以傳送帶大于物體摩擦力的方向是不同的，則物體的加速度會發(fā)生變化．這是題目中容易錯誤的地方．開始時物體的速度大于傳送帶的速度，減速后的速度小于傳送帶的速度，所以開始時物體相對于傳送帶向右運(yùn)動，之后物體相對于傳送帶向左運(yùn)動，難度適中．