Question

15．如圖所示，水平轉(zhuǎn)臺高h，半徑為r，可繞通過圓心處的豎直轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動．轉(zhuǎn)臺的同一半徑上放有質(zhì)量均為m的小物塊A、B（可看成質(zhì)點），A與轉(zhuǎn)軸間距離為$\frac{r}{2}$，B位于轉(zhuǎn)臺邊緣處，A、B間用長$\frac{r}{2}$m的細線相連，A、B與水平轉(zhuǎn)臺間最大靜摩擦力均為f_m．
（1）當(dāng)轉(zhuǎn)臺的角速度達到多大時細線上出現(xiàn)張力？
（2）當(dāng)轉(zhuǎn)臺的角速度達到多大時A物塊開始滑動？
（3）若A物塊恰好將要滑動時細線斷開，求B物塊落地的水平距離．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)轉(zhuǎn)臺的角速度比較小時，A、B物塊做圓周運動的向心力由靜摩擦力提供，隨著角速度增大，由F_n=mω²r知向心力增大，由于B物塊的轉(zhuǎn)動半徑大于A物塊的轉(zhuǎn)動半徑，B物塊的靜摩擦力先達到最大靜摩擦力，角速度再增大，則細線上出現(xiàn)張力．以B為研究對象，由牛頓第二定律求解．
（2）若角速度繼續(xù)增大，A物塊受的靜摩擦力也將達最大，這時A物塊開始滑動．以A為研究對象，由牛頓第二定律求解．
（3）若A物塊恰好將要滑動時細線斷開，此后轉(zhuǎn)臺保持勻速轉(zhuǎn)動，這時B物塊沿切線方向飛出做平拋運動，由平拋運動的規(guī)律求解A、B兩物塊間的水平距離．

解答 解：（1）由F_f=mω²r可知隨著角速度增大，向心力增大，由于B物塊的轉(zhuǎn)動半徑大于A物塊的轉(zhuǎn)動半徑，B物塊的靜摩擦力先達到最大靜摩擦力，即B先達到臨界狀態(tài)，故當(dāng)滿足fm=mω₁²r時線上出現(xiàn)張力．
解得角速度：ω₁=$\sqrt{\frac{{f}_{m}}{mr}}$．
（2）當(dāng)ω繼續(xù)增大，A受靜摩擦力也達到最大靜摩擦力時，A開始滑動，設(shè)這時的角速度為ω₂，
對A物塊有：f_m-F_T=mω₂²•$\frac{r}{2}$
對B物塊有：Ffm+F_T=mω₂²r
代入數(shù)據(jù)得角速度為：ω₂=$\sqrt{\frac{4{f}_{m}}{3mr}}$
（3）細線斷開后，B沿水平切線方向飛出做平拋運動，
豎直方向上由 h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
得平拋的時間：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$．
平拋的初速度：v_B=ω₂r
可得B物塊落地的水平距離；x_B=v_Bt=$\sqrt{\frac{8{f}_{m}hr}{3mg}}$
答：
（1）當(dāng)轉(zhuǎn)臺的角速度達到$\sqrt{\frac{{f}_{m}}{mr}}$時細線上出現(xiàn)張力．
（2）當(dāng)轉(zhuǎn)臺的角速度達到$\sqrt{\frac{4{f}_{m}}{3mr}}$時A物塊開始滑動．
（3）若A物塊恰好將要滑動時細線斷開，B物塊落地的水平距離是$\sqrt{\frac{8{f}_{m}hr}{3mg}}$．

點評 本題的關(guān)鍵是抓住臨界狀態(tài)，隔離物體，正確進行受力分析．對于平拋運動，要熟練運用運動的分解法研究．