Question

5．如圖甲所示，MN、PQ為間距L=0.5m足夠長的平行導軌，NQ⊥MN，導軌的電阻均不計．導軌平面與水平面間的夾角θ=37°，NQ間連接有一個R=4Ω的電阻．有一勻強磁場垂直于導軌平面且方向向上，磁感應強度為B₀=1T，將一根質量為m=0.05kg的金屬棒ab緊靠NQ放置在導軌上，且與導軌接觸良好．現(xiàn)由靜止釋放金屬棒，當金屬棒滑行至cd處時達到穩(wěn)定速度，已知在此過程中通過金屬棒截面的電量q=0.2C，且金屬棒的加速度a與速度v的關系如圖乙所示，設金屬棒沿導軌向下運動過程中始終與NQ平行．（取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）金屬棒與導軌間的動摩擦因數(shù)μ和cd離NQ的距離S
（2）金屬棒滑行至cd處的過程中，電阻R上產生的熱量
（3）若將金屬棒滑行至cd處的時刻記作t=0，從此時刻起，讓磁感應強度逐漸減小，為使金屬棒中不產生感應電流，則磁感應強度B應怎樣隨時間t變化（寫出B與t的關系式）

Answer 1

分析 （1）當剛釋放時，導體棒中沒有感應電流，所以只受重力、支持力與靜摩擦力，由牛頓第二定律可求出動摩擦因數(shù)．
當金屬棒速度穩(wěn)定時，則受到重力、支持力、安培力與滑動摩擦力達到平衡，這樣可以列出安培力公式，產生感應電動勢的公式，再由閉合電路毆姆定律，列出平衡方程可求出金屬棒的內阻，從而利用通過棒的電量來確定發(fā)生的距離．
（2）金屬棒滑行至cd處的過程中，由動能定理可求出安培力做的功，而由于安培力做功導致電能轉化為熱能．
（3）要使金屬棒中不產生感應電流，則穿過線框的磁通量不變．同時棒受到重力、支持力與滑動摩擦力做勻加速直線運動．從而可求出磁感應強度B應怎樣隨時間t變化的．

解答 解：（1）剛釋放金屬棒時結合圖象由牛頓第二定律有：
mgsinθ-μmgcosθ=ma
解得：μ=0.5
結合圖象分析得知：當速度為v=2m/s時，a=0金屬棒達到穩(wěn)定速度處于平衡狀態(tài)．
對金屬棒由平衡方程有：mgsinθ=F_A+μmcosθ
F_A=B₀IL
由閉合電路歐姆定律有：I=$\frac{E}{R+r}$
E=B₀Lv
解得：r=1Ω
q=It=$\frac{△∅}{R+r}$=$\frac{{B}_{0}Ls}{R+r}$
解得：s=2m
（2）金屬棒從靜止滑行至cd處的過程中由動能定理有：
mgssinθ-μmgscosθ-W_A=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$
由能量守恒定律有：Q=W_A=0.1J
由能量分配關系有：Q_R=$\frac{R}{R+r}Q$=$\frac{4}{5}Q$=0.08J
（3）當回路中總磁通量不變時，回路中無感應電流，金屬棒做勻加速運動，
由牛頓第二定律有：mgsinθ-μmgcosθ=ma
代入數(shù)據解得：a=2m/s²
磁通量關系為：B₀Ls=BL[（vt+$\frac{1}{2}$at²）+s]
解得：B=$\frac{2}{2+2t+{t}^{2}}$
答：（1）金屬棒與導軌間的動摩擦因數(shù)0.5和cd離NQ的距離2m；
（2）金屬棒滑行至cd處的過程中，電阻R上產生的熱量0.08J；
（3）則磁感應強度B隨時間t變化關系式為B=$\frac{2}{2+2t+{t}^{2}}$．

點評 本題考查了牛頓運動定律、閉合電路毆姆定律，安培力公式、感應電動勢公式，還有動能定理．同時當金屬棒速度達到穩(wěn)定時，則一定是處于平衡狀態(tài)，原因是安培力受到速度約束的．還巧妙用磁通量的變化去求出面積從而算出棒的距離．最后線框的總磁通量不變時，金屬棒中不產生感應電流是解題的突破點．