Question

如圖所示，質(zhì)量為M的木塊懸于O點(diǎn)，被水平飛來的質(zhì)量為m的子彈擊中，若繩長為L，且已知子彈沒有穿出，設(shè)子彈的初速度為v₀，試求：
（1）假設(shè)子彈與木塊作用時(shí)間極短，求子彈打入木塊后在最低點(diǎn)時(shí)，木塊對懸線的拉力．
（2）如果子彈擊中木塊后一起做圓周運(yùn)動的過程中，繩子始終不松弛，子彈的初速度滿足什么樣條件？

Answer 1

分析：（1）子彈在射擊木球的過程中，子彈和木球在水平方向上動量守恒，機(jī)械能的損失量等于子彈的初動能減去子彈和木塊的末動能；
（2）要使木球在豎直平面內(nèi)運(yùn)動過程中懸線始終不發(fā)生松馳，木球運(yùn)動有兩種情況：一是木球運(yùn)動速度較大時(shí)將做完整圓周運(yùn)動，二是木球速度較小時(shí)做不完整圓周運(yùn)動（即擺動）．根據(jù)牛頓第二定律求出在最高點(diǎn)的最小速度，再根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出子彈與木球在最低點(diǎn)的最小速度，最后通過動量守恒定律求出子彈做完整圓周運(yùn)動的最小初速度．
由機(jī)械能守恒定律求得子彈做不完整圓周運(yùn)動最大速度．

解答：解：（1）設(shè)子彈打入木塊的瞬間，子彈和木塊獲得共同的速度v，對子彈打入木塊的過程由動量守恒定律有：mv₀=（M+m）v
在最低點(diǎn)，由牛頓第二定律有：T-（M+m）g=（M+m）

v2

L

  
得：T=（M+m）g+

m2v02

(m+M)L

    
（2）要滿足子彈與木塊一起做圓周運(yùn)動，繩子始終不松弛，可能出現(xiàn)兩種情況，一種是它們在豎直平面內(nèi)運(yùn)動，不越過與O點(diǎn)等高的位置，假設(shè)它們恰好運(yùn)動到與O點(diǎn)等高的位置，對這一個(gè)過程，由動能定理有：-（M+m）gL=0-

1

2

（m+M）v² 
由（1）知：v

mv0

M+m

     聯(lián)立解得：v₀=

m+M

m

2gL

 
另一種情況是它們在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動，恰好做圓周運(yùn)動時(shí)，在最高點(diǎn)有（m+M）g=（M+m）

v2

L

 
從最低點(diǎn)運(yùn)動到最高點(diǎn)的過程由動能定理有：
-（M+m）g?2L=

1

2

（M+m）v²-

1

2

（M+m）v²
聯(lián)立解得：v₀=

m+M

m

5gL

 
綜上所得，要使繩子不松弛則有：
v₀≤

m+M

m

2gL

或v₀≥

m+M

m

5gL

答：（1）子彈打入木塊后在最低點(diǎn)時(shí)，木塊對懸線的拉力（M+m）g+

m2v02

(m+M)L

．
（2）如果子彈擊中木塊后一起做圓周運(yùn)動的過程中，繩子始終不松弛，子彈的初速度滿足v₀≤

m+M

m

2gL

或v₀≥

m+M

m

5gL

．

點(diǎn)評：本題綜合考查了動量守恒定律、機(jī)械能守恒定律以及牛頓第二定律，關(guān)鍵理清整個(gè)運(yùn)動過程，分過程求解．