Question

（2011?廣東）如圖（a）所示，在以O(shè)為圓心，內(nèi)外半徑分別為R₁和R₂的圓環(huán)區(qū)域內(nèi)，存在輻射狀電場(chǎng)和垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，內(nèi)外圓間的電勢(shì)差U為常量，R₁=R₀，R₂=3R₀，一電荷量為+q，質(zhì)量為m的粒子從內(nèi)圓上的A點(diǎn)進(jìn)入該區(qū)域，不計(jì)重力．
（1）已知粒子從外圓上以速度v₁射出，求粒子在A點(diǎn)的初速度v₀的大��；
（2）若撤去電場(chǎng)，如圖（b），已知粒子從OA延長(zhǎng)線與外圓的交點(diǎn)C以速度v₂射出，方向與OA延長(zhǎng)線成45°角，求磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小及粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）在圖（b）中，若粒子從A點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，速度大小為v₃，方向不確定，要使粒子一定能夠從外圓射出，磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)小于多少？

Answer 1

分析：帶電粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中，只有電場(chǎng)力對(duì)粒子做功，所以由動(dòng)能定理可求出初速度．由于粒子從OA延長(zhǎng)線與外圓的交點(diǎn)C以速度v₂射出，則入射點(diǎn)與出射點(diǎn)連續(xù)是弦，因此弦的中垂線與射出速度的垂線交點(diǎn)即為軌道的圓心．從而由幾何關(guān)系可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度大小及運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．若粒子從A點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，速度大小一定，方向不定，要使粒子一定能夠從外圓射出，粒子在磁場(chǎng)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)半徑應(yīng)大于過(guò)A點(diǎn)的最大內(nèi)切圓半徑，所以由軌道半徑從而求出最小磁感應(yīng)強(qiáng)度．

解答： 解：（1）電、磁場(chǎng)都存在時(shí)，只有電場(chǎng)力對(duì)帶電粒子做功，由動(dòng)能定理
qU=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 0

①
得v0=

v 2 1 - 2qU m

②
（2）由牛頓第二定律       qBv=m

v2

r

③
如圖1，由幾何關(guān)系粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心O′和半徑R
則有：R²+R²=（R₂-R₁）²④
聯(lián)立③④得磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=

2 mv2

2qR0

⑤
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=

2πR

v2

⑥
由幾何關(guān)系確定粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=

1

4

T⑦
由④⑥⑦式，得  t=

2 πR0

2v2

⑧
（3）如圖2，為使粒子射出，則粒子在磁場(chǎng)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)半徑應(yīng)大于過(guò)A點(diǎn)的最大內(nèi)切圓半徑，該半徑為     
  Rc=

R2+R1

2

⑨
由③⑨，得磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)小于Bc=

mv3

2qR0

點(diǎn)評(píng)：解決粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的步驟：定圓心、畫圓弧、求半徑．同時(shí)若粒子從A點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，速度大小一定而方向不定，要使粒子一定能夠從外圓射出，求磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)最大值，則粒子在磁場(chǎng)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)半徑應(yīng)大于過(guò)A點(diǎn)的最小內(nèi)切圓半徑．