Question

2．如圖所示，質(zhì)量均為m、電荷量均為q的帶正電的粒子A和B（均不計(jì)重力）先后以不同的速率從半徑為R的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域邊界M處沿直徑MN方向射入磁場(chǎng)，已知粒子A穿越磁場(chǎng)過程中速度方向偏轉(zhuǎn)了θ角，粒子B在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是粒子A的2倍．
（1）求A粒子的軌跡半徑．
（2）求A、B兩粒子的速率之比．
（3）若讓粒子A改從磁場(chǎng)邊界上距MN為0.6R的P點(diǎn)沿平行于MN方向以速率v入射，結(jié)果粒子A以90°的偏轉(zhuǎn)角射出磁場(chǎng)，求磁感應(yīng)強(qiáng)度．

Answer 1

分析 （1）電荷在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出軌跡，找出運(yùn)動(dòng)粒子的圓心，結(jié)合幾何關(guān)系即可求出粒子的半徑；
（2）同理求出b粒子的半徑，結(jié)合半徑公式即可得出它們的速率關(guān)系；
（3）畫出軌跡，找出運(yùn)動(dòng)粒子的圓心，結(jié)合幾何關(guān)系即可求出粒子的半徑由半徑公式即可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．

解答 解：（1）找出A粒子的圓心如圖，由圖中幾何關(guān)系得：

$\frac{R}{{r}_{1}}=tan\frac{θ}{2}$
所以：${r}_{1}=\frac{R}{tan\frac{θ}{2}}$ 
（2）由于粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與偏轉(zhuǎn)的角度的關(guān)系是：$\frac{t}{T}=\frac{α}{2π}$，由于粒子B在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是粒子A的2倍，所以B粒子的偏轉(zhuǎn)角是2θ；
同理求出b粒子的半徑：${r}_{2}=\frac{R}{tanθ}$，
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$，得：$r=\frac{mv}{qB}$①
所以：$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}=\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}=\frac{tanθ}{tan\frac{θ}{2}}$
（3）粒子A改從磁場(chǎng)邊界上距MN為0.6R的P點(diǎn)沿平行于MN方向以速率v入射，軌跡如右圖：

PO″與MO交與E點(diǎn)，SF⊥MO交與F點(diǎn)；由圖中幾何關(guān)系可知，r=PO″=SO″；$sin∠POM=\frac{0.6R}{R}=0.6$
所以：∠POM=37°，∠SOM=90°-37°=53°
所以：EP=0.6R，EO=R•cos37°=0.8R；SF=R•sin∠SOM=0.8R，F(xiàn)O=R•cos∠SOM=0.6R，②
所以：O″K=EF=EO-FO=0.2R     ③
設(shè)：O″E=KF=x，則x=O″P-PE=（r-0.6R）  ④
由勾股定理得：r²=SK²+O″K²
即：r²=（0.8R-x）²+（0.2R）²  ⑤
聯(lián)立②③④⑤得：$r=\frac{5}{7}R$⑥
聯(lián)立①⑥得：$B=\frac{7mv}{5qR}$．
答：（1）A粒子的軌跡半徑是$\frac{R}{tan\frac{θ}{2}}$．
（2）A、B兩粒子的速率之比是$\frac{tanθ}{tan\frac{θ}{2}}$．
（3）若讓粒子A改從磁場(chǎng)邊界上距MN為0.6R的P點(diǎn)沿平行于MN方向以速率v入射，結(jié)果粒子A以90°的偏轉(zhuǎn)角射出磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度是$\frac{7mv}{5qR}$

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)問題，關(guān)鍵是畫出粒子圓周的軌跡，往往用數(shù)學(xué)知識(shí)求半徑．