Question

10．如圖所示，圓心在O點(diǎn)，半徑為R的圓弧軌道abc豎直固定在水平桌面上，Oc與Oa的夾角為60°，軌道最低點(diǎn)a與桌面相切．一不可伸長(zhǎng)的輕繩兩端系著質(zhì)量分別為m和4m的小球A和B（均可視為質(zhì)點(diǎn)），掛在圓弧軌道邊緣c的兩邊，開(kāi)始時(shí)，B位于c點(diǎn)，從靜止釋放，繩子始終要繞過(guò)軌道邊緣c點(diǎn)，B球下滑，A球上升，設(shè)輕繩足夠長(zhǎng)，不計(jì)一切摩擦，求在B球由c下滑到a的過(guò)程中：
（1）B球減小的重力勢(shì)能；
（2）小球A增加的機(jī)械能．

Answer 1

分析 （1）在B球由c下滑到a的過(guò)程中，由幾何關(guān)系求出其下降的高度，再求解B球減小的重力勢(shì)能；
（2）根據(jù)兩球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒和兩球的速度關(guān)系列式，求解小球B經(jīng)過(guò)a點(diǎn)時(shí)A的速度大小，再求得小球A增加的機(jī)械能．

解答 解：（1）在B球由c下滑到a的過(guò)程中，下降的高度 h=R（1-cos60°）$\frac{1}{2}$R，則B球減小的重力勢(shì)能△E_p=4mgh=2mgR
（2）設(shè)小球B經(jīng)過(guò)a點(diǎn)時(shí)的速度大小為v₁，此時(shí)A球的速度大小為v₂．則有：
v₂=v₁cos30°
由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒得：
  4mgR（1-cos60°）=mgR+$\frac{1}{2}•4m{v}_{1}^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
聯(lián)立解得 v₂=$\sqrt{\frac{6}{19}gR}$
所以小球A增加的機(jī)械能為△E_A=mgR++$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$=$\frac{21}{19}$mgR
答：
（1）B球減小的重力勢(shì)能是2mgR；
（2）小球A增加的機(jī)械能是$\frac{21}{19}$mgR．

點(diǎn)評(píng) 本題解題的關(guān)鍵是對(duì)兩個(gè)小球運(yùn)動(dòng)情況的分析，知道兩球沿繩子方向的分速度大小相等．要注意本題中系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，但兩個(gè)小球各自的機(jī)械能均不守恒．