Question

9．如圖所示，豎直平面內(nèi)，半徑為R=0.5m的光滑圓軌道CDF與傾角θ=37°的光滑斜面軌道AC相切于C，圓軌道的直徑CE與斜面垂直，O點(diǎn)為圓軌道的圓心，D點(diǎn)為圓軌道的最低點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)為圓軌道的最高點(diǎn)，DF在豎直方向，B點(diǎn)為斜面上與F等高的位置．小球從斜面上A處由靜止釋放，之后恰好能通過F處離開圓軌道，落到斜面上．已知重力加速度為g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不計(jì)空氣阻力，求：
（1）A，C兩點(diǎn)的高度差；
（2）小球從F點(diǎn)到斜面的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）小球恰能到達(dá)光滑圓弧軌道CDF的最高點(diǎn)，在F點(diǎn)重力充當(dāng)向心力，根據(jù)向心力公式求得F點(diǎn)的速度，從A點(diǎn)到F點(diǎn)的過程中，因?yàn)橹挥兄亓ψ龉Γ瑱C(jī)械能守恒，可以根據(jù)機(jī)械能守恒定律或動(dòng)能定理求AC兩點(diǎn)的高度差．
（2）小球離開F點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律及幾何關(guān)系可以求出從F點(diǎn)到斜面的時(shí)間

解答 解：（1）小球恰好能通過F，在最高點(diǎn)F根據(jù)向心力公式得：$mg=m\frac{{v}_{F}^{2}}{R}$
${v}_{F}^{\;}=\sqrt{gR}=\sqrt{10×0.5}=\sqrt{5}m/s$
從A到F只有重力做功，機(jī)械能守恒，選C點(diǎn)所在的水平面為參考平面，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：$mgh=\frac{1}{2}m{v}_{F}^{2}+mg（R+Rcosθ）$
代入數(shù)據(jù)解得：h=1.15m
（2）小球離開F點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向：$x={v}_{F}^{\;}t$
豎直方向：$y=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$
根據(jù)幾何關(guān)系有：$\frac{（R+Rcosθ）-\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}}{{v}_{F}^{\;}t-Rsinθ}=tanθ$
解得：$t=\frac{3\sqrt{5}}{20}s$
答：（1）A，C兩點(diǎn)的高度差1.15m；
（2）小球從F點(diǎn)到斜面的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為$\frac{3\sqrt{5}}{20}s$

點(diǎn)評(píng) 本題小球“恰好”到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)，抓住關(guān)鍵詞充分挖掘隱含條件，運(yùn)動(dòng)過程中只有重力做功機(jī)械能守恒，平拋運(yùn)動(dòng)分解為水平和豎直方向處理．