Question

11．如圖，豎直平面內(nèi)有兩個(gè)半圓AO₁B和CO₂D中間有較短的光滑平臺(tái)，小圓的內(nèi)壁光滑，圓心為O₁，半徑為R₁=0.8m，大圓的內(nèi)壁粗糙，半徑為小圓的兩倍．小車(chē)靜止放置光滑水平地面上，上表面與大圓D點(diǎn)等高且緊挨著D點(diǎn)，小車(chē)的質(zhì)量M=3kg，上表面長(zhǎng)L=7m，水平地面右端F處有一豎直擋板．P₁和P₂可視為質(zhì)點(diǎn)，靜止放在平臺(tái)上，中間由輕質(zhì)彈簧壓縮且鎖定，P1的質(zhì)量m₁=1kg．同時(shí)釋放P₁P₂，P₁剛好能過(guò)大圓C點(diǎn)不掉下并且沿著大圓的內(nèi)壁運(yùn)動(dòng)從D點(diǎn)滑上小車(chē)，已知P₁到達(dá)D點(diǎn)的速度為8m/s．P₁與小車(chē)之間的動(dòng)摩擦因素為0.4．（g=10m/s²）

（1）P₁在大圓內(nèi)壁滑動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的熱量
（2）P₂沿小圓運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)速度V_A=$\sqrt{17}m/s$，則P₂的質(zhì)量和彈簧存儲(chǔ)的彈性勢(shì)能分別為多少？
（3）地面的右側(cè)有一擋板，小車(chē)與擋板碰撞就立即停止，試討論擋板距離車(chē)右端的距離與P₁克服摩擦力做功之間的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律求出物體到達(dá)B、D點(diǎn)的速度，然后由動(dòng)能定理求出克服摩擦力做功，求出產(chǎn)生的熱量．
（2）兩物體碰撞過(guò)程系統(tǒng)動(dòng)量守恒，應(yīng)用動(dòng)能定理、動(dòng)量守恒定律與能量守恒定律求出質(zhì)量與彈性勢(shì)能．
（3）應(yīng)用動(dòng)量守恒定律與動(dòng)能定理分析答題．

解答 解：（1）P₁恰好過(guò)C點(diǎn)，大圓半徑為R₂=1.6m，由牛頓第二定律：${m_1}g={m_1}\frac{V_c^2}{R_2}$，解得：Vc=4m/s，
P₁從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，克服摩擦力做功為W_f，由動(dòng)能定理得：${m_1}g2{R_2}-{W_f}=\frac{1}{2}{m_1}V_D^2-\frac{1}{2}{m_1}V_C^2$，解得：Q=W_f=8J；
（2）P₂從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)由動(dòng)能定理得：$-{m_2}g2{R_1}=\frac{1}{2}{m_2}V_A^2-\frac{1}{2}{m_2}V_B^2$，代入數(shù)據(jù)得：V_B=7m/s，
P₁、P分開(kāi)過(guò)程系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：m₁v_C=m₂v_B，解得：m₂=0.57kg，
彈簧的彈性勢(shì)能：E=$\frac{1}{2}{m_1}V_C^2+\frac{1}{2}{m_2}V_B^2=22J$；
（3）設(shè)P₁滑倒和車(chē)共速未從車(chē)上掉下，共同速度為V，則：
P和車(chē)組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：m₁v_D=（m₁+M）v，
由能量守恒定律得：$μ{m_1}g{S_{相對(duì)}}=\frac{1}{2}{m_1}V_C^2-\frac{1}{2}（{m_1}+M）{V^2}$，
解得：S_相對(duì)=6m＜L，所以P1與車(chē)共速時(shí)并未從車(chē)上滑下，
小車(chē)從靜止運(yùn)動(dòng)到與P₁共速，車(chē)位移為S₀，$μm_1^{\;}g{S_0}=\frac{1}{2}M{V^2}$得：S₀=1.5m
車(chē)停下后P1繼續(xù)勻減速運(yùn)動(dòng)到停止：$μm_1^{\;}g{S_1}=\frac{1}{2}{m_1}{V^2}$，解得：S₁=0.5m，
討論：①擋板距離車(chē)右端距離S≤S₀，P₁和車(chē)未共速前車(chē)就停下，P₁在車(chē)上一直做勻減速運(yùn)動(dòng)到停止，${W_克}=\frac{1}{2}{m_1}V_D^2=32J$
②擋板距離車(chē)右端距離S＞S₀，P₁與車(chē)共速后，車(chē)才停止，P₁繼續(xù)減速，則P₁相對(duì)地面的位移S_總=L+S-S’=S+6.5m 所以W_克=μm₁g（S+6.5）J=4（S+6.5）J；
答：（1）P₁在大圓內(nèi)壁滑動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的熱量為8J；
（2）P₂沿小圓運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)速度V_A=$\sqrt{17}m/s$，則P₂的質(zhì)量為0.57kg，彈簧存儲(chǔ)的彈性勢(shì)能為22J；
（3）地面的右側(cè)有一擋板，小車(chē)與擋板碰撞就立即停止，擋板距離車(chē)右端的距離與P₁克服摩擦力做功之間的關(guān)系是：①擋板距離車(chē)右端距離S≤S₀時(shí)克服摩擦力做功為32J；②擋板距離車(chē)右端距離S＞S₀時(shí)：W_克=μm₁g（S+6.5）J=4（S+6.5）J．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道力學(xué)綜合題，物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程復(fù)雜，難度很大，分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程是正確解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用動(dòng)能定理、動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律可以解題．