Question

8．如圖所示，一半徑R=0.4m的半圓形豎直軌道ACB與光滑的水平面相切于B點(diǎn)，O為圓心，直徑AB處于豎直方向，光滑水平面的右端固定一擋板D，質(zhì)量為m=0.1kg的小球用細(xì)線與擋板連接，球和擋板間夾有一輕質(zhì)彈簧，彈簧的右端固定在擋板上，左端與小球接觸但不固連，彈簧處于壓縮狀態(tài)，現(xiàn)剪斷細(xì)線，小球被彈出后沿水平面及圓軌道運(yùn)動，重力加速度g=10m/s²．
（1）若小球經(jīng)過圓弧軌道B時(shí)的速度為6m/s，求小球在B點(diǎn)受到圓弧軌道支持力F_N的大��；
（2）若圓弧軌道粗糙，小球以6m/s的速度經(jīng)過B點(diǎn)后沿圓弧運(yùn)動，并以3m/s的速度從A點(diǎn)飛出，求小球在圓弧軌道上運(yùn)動時(shí)克服摩擦力做的功W；
（3）若圓弧軌道光滑，要使小球能進(jìn)入圓弧軌道且在圓弧軌道上運(yùn)動時(shí)中途不脫離軌道，求剪斷細(xì)線時(shí)彈簧的彈性勢能應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）對小球在B處應(yīng)用牛頓第二定律即可求解；
（2）對小球在圓弧軌道上運(yùn)動應(yīng)用動能定理即可求解；
（3）根據(jù)小球不脫離軌道得到小球末狀態(tài)的位置和速度范圍，然后對小球整個(gè)運(yùn)動過程應(yīng)用機(jī)械能守恒即可求解．

解答 解：（1）對小球在B處應(yīng)用牛頓第二定律可得：${F}_{N}=mg+\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}=0.1×10+\frac{0.1×{6}^{2}}{0.4}（N）=10N$；
（2）小球在圓弧軌道上運(yùn)動只有重力、摩擦力做功，故由動能定理可得：$-2mgR-W=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=-1.35J$，那么，W=1.35-2×0.1×10×0.4（J）=0.55J；
（3）要使小球能進(jìn)入圓弧軌道且在圓弧軌道上運(yùn)動時(shí)中途不脫離軌道，那么若小球能到達(dá)的最高點(diǎn)在BC上時(shí)，末速度為零；若小球能到達(dá)的最高點(diǎn)在CA上，要使小球不脫離軌道，那么，小球必可到達(dá)A點(diǎn)；
小球在運(yùn)動過程中只有彈簧彈力、重力做功，故機(jī)械能守恒；
若小球能到達(dá)的最高點(diǎn)在BC上，那么由機(jī)械能守恒可得：剪斷細(xì)線時(shí)彈簧的彈性勢能E_p=mgh≤mgR=0.4J；
若小球能到達(dá)的最高點(diǎn)在A處，那么，對小球在A處應(yīng)用牛頓第二定律可得：$mg≤\frac{m{v}_{A}{′}^{2}}{R}$；所以，由機(jī)械能守恒可得：${E}_{p}=2mgR+\frac{1}{2}mv{′}^{2}≥\frac{5}{2}mgR=1J$；
故剪斷細(xì)線時(shí)彈簧的彈性勢能E_p≤0.4J或E_p≥1J；
答：（1）若小球經(jīng)過圓弧軌道B時(shí)的速度為6m/s，那么小球在B點(diǎn)受到圓弧軌道支持力F_N的大小為10N；
（2）若圓弧軌道粗糙，小球以6m/s的速度經(jīng)過B點(diǎn)后沿圓弧運(yùn)動，并以3m/s的速度從A點(diǎn)飛出，則小球在圓弧軌道上運(yùn)動時(shí)克服摩擦力做的功W為0.55J；
（3）若圓弧軌道光滑，要使小球能進(jìn)入圓弧軌道且在圓弧軌道上運(yùn)動時(shí)中途不脫離軌道，那么剪斷細(xì)線時(shí)彈簧的彈性勢能E_p≤0.4J或E_p≥1J．

點(diǎn)評 經(jīng)典力學(xué)問題一般先對物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動能定理及幾何關(guān)系求解．