Question

6．如圖，質(zhì)量m=1.0kg的物體（可視為質(zhì)點(diǎn)）以v₀=10m/s的初速度從水平面的某點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)并沖上半徑R=1.0m的豎直光滑半圓環(huán)，物體與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5．求：
（1）物體能從M點(diǎn)飛出，落到水平面時(shí)落點(diǎn)到N點(diǎn)的距離的最小值為多大？
（2）如果物體從某點(diǎn)出發(fā)后在半圓軌道運(yùn)動(dòng)過程途中離開軌道，求出發(fā)點(diǎn)到N點(diǎn)的距離x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）小球離開M做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)到達(dá)M的臨界條件求出小球平拋的初速度，根據(jù)平拋規(guī)律求得最小距離；
（2）小球在運(yùn)動(dòng)過程中途離開軌道則根據(jù)臨界條件小球在軌道上上升的高度大于半徑而小于到達(dá)M的臨界速度，根據(jù)動(dòng)能定理求得x的取值范圍．

解答 解：（1）物體恰好能從M點(diǎn)飛出，有：
$mg=m\frac{{v}_{min}^{2}}{R}$…①
由平拋運(yùn)動(dòng)知：y_min=v_mint…②
2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$…③
解①②③得：y_min=2m…④
（2）（Ⅰ）物體在水平距離運(yùn)動(dòng)最短距離時(shí)有恰好從M離開半圓軌道，即物體恰好從M點(diǎn)飛出，物體從出發(fā)點(diǎn)到M過程．
由動(dòng)能定理：$-μmg{x}_{min}-mg2R=\frac{1}{2}m{v}_{min}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$…⑤
解①⑤得：x_min=5m…⑥
（Ⅱ）物體在水平面上運(yùn)動(dòng)足夠長(zhǎng)時(shí)，則當(dāng)物體剛好至圓軌道圓心等高處速度為0，
由動(dòng)能定理：$-μmg{x}_{max}-mgR=0-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$…⑦
解⑦得：x_max=8m…⑧
所以要想從MN中途離開軌道，則物體在水平面上滑動(dòng)的距離滿足：8m＞x＞5m
答：（1）物體能從M點(diǎn)飛出，落到水平面時(shí)落點(diǎn)到N點(diǎn)的距離的最小值為2m；
（2）如果物體從某點(diǎn)出發(fā)后在半圓軌道運(yùn)動(dòng)過程途中離開軌道，出發(fā)點(diǎn)到N點(diǎn)的距離x的取值范圍為8m＞x＞5m．

點(diǎn)評(píng) 掌握豎直面內(nèi)小球做圓周運(yùn)動(dòng)通過最高點(diǎn)的臨界條件是正確解題的關(guān)鍵，小球能從軌道中途離開軌道，則小球離開軌道位置必在MN之間，根據(jù)到達(dá)MN點(diǎn)的臨界條件由動(dòng)能定理求解小球在水平面上運(yùn)動(dòng)的距離范圍．