Question

17．如圖所示，在MN下方存在豎立向上的勻強(qiáng)電場，Ⅰ、Ⅱ區(qū)域存在方向相反的勻強(qiáng)磁場，已知Ⅰ區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₁，方向垂直紙面向里，PQ為絕緣薄板且為兩磁場的理想邊界，C、D為板上兩個(gè)小孔，AO為CD的中垂線，交點(diǎn)為A，O為I磁場區(qū)域的上邊界MN與AO的交點(diǎn)．質(zhì)量為m、電量為q的帶電小球從O點(diǎn)正上方高為h的某點(diǎn)由靜止開始下落，進(jìn)入Ⅰ區(qū)域后，恰能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知重力加速度為g．
（1）試判斷小球的電性并求出電場強(qiáng)度E的大�。�
（2）若帶電小球恰能從C孔沿與PQ成30°角進(jìn)入Ⅱ區(qū)域，求Ⅰ區(qū)域的磁場寬度d和C、A間的距離L；
（3）若帶電小球從C孔進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ后，恰好從D孔返回Ⅰ區(qū)域，求Ⅱ區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的大小（用B₁表示）和帶電小球自O(shè)點(diǎn)進(jìn)入磁場到第一次回到O點(diǎn)所用的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）帶電小球進(jìn)入復(fù)合場后，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，知電場力和重力平衡，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)平衡得出粒子的電性以及求出電場強(qiáng)度的大�。�
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出粒子進(jìn)入磁場前的速度，結(jié)合半徑公式和幾何關(guān)系求出Ⅰ區(qū)域的磁場寬度d和C、A間的距離L；
（3）作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡圖，結(jié)合周期公式，以及幾何關(guān)系求出帶電小球自O(shè)點(diǎn)進(jìn)入磁場到第一次回到O點(diǎn)所用的時(shí)間．

解答 解：（1）帶電小球進(jìn)入復(fù)合場后，恰能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，合力為洛倫茲力，重力與電場力平衡，重力豎直向下，電場力豎直向上，即小球帶正電．
由qE=mg，
解得：E=$\frac{mg}{q}$．
（2）帶電小球在進(jìn)入磁場前做自由落體運(yùn)動(dòng)，由機(jī)械能守恒得：$mgh=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
帶電小球在Ⅰ區(qū)域內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，有：$qv{B}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$，
由幾何關(guān)系得：d=R₁sin60°，L=R₁（1-cos60°），
解得：d=$\frac{m\sqrt{6gh}}{2q{B}_{1}}$，L=$\frac{{R}_{1}}{2}=\frac{m\sqrt{2gh}}{2q{B}_{1}}$．
（3）帶電小球在Ⅱ區(qū)域內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有：$qv{B}_{2}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$，
由幾何關(guān)系得，R₂=2L=R₁，
解得：B₂=B₁，
帶電小球在Ⅰ、Ⅱ區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動(dòng)周期為：${T}_{1}={T}_{2}=\frac{2π{R}_{2}}{v}$，
帶電小球在Ⅰ、Ⅱ區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為：t=$2×\frac{{T}_{1}}{6}+\frac{5}{6}{T}_{2}=\frac{7}{6}{T}_{2}$．
解得：t=$\frac{7πm}{3q{B}_{1}}$．
答：（1）小球帶正電，電場強(qiáng)度為$\frac{mg}{q}$．
（2）Ⅰ區(qū)域的磁場寬度為$\frac{m\sqrt{6gh}}{2q{B}_{1}}$，C、A間的距離為$\frac{m\sqrt{2gh}}{2q{B}_{1}}$．
（3）Ⅱ區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的大小為B₁，帶電小球自O(shè)點(diǎn)進(jìn)入磁場到第一次回到O點(diǎn)所用的時(shí)間為$\frac{7πm}{3q{B}_{1}}$．

點(diǎn)評 本題考查了帶電小球在磁場中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚小球的運(yùn)動(dòng)過程，作出小球的運(yùn)動(dòng)軌跡、應(yīng)用機(jī)械能守恒定律、牛頓第二定律、功的計(jì)算公式即可正確解題；分析清楚運(yùn)動(dòng)過程、作出小球運(yùn)動(dòng)軌跡是正確解題的關(guān)鍵．