Question

9．一同學(xué)要研究輕質(zhì)彈簧的彈性勢(shì)能與彈簧長(zhǎng)度改變量的關(guān) 系，他的實(shí)驗(yàn)如下：在離地面高度為h的光滑水平桌面上，沿著與桌子邊緣垂直的方向放置一輕質(zhì)彈簧，其左端固定，右端與質(zhì)量為m的一小鋼球接觸．當(dāng)彈簧處于自然長(zhǎng)度時(shí)，小鋼球恰好在桌子邊緣，如圖所示．讓鋼球向左壓縮彈簧一段距離后由靜止釋放，使鋼球沿水平方向射出桌面，小球在空中飛行后落到水平地面，水平距離為S． 
（1）請(qǐng)你推導(dǎo)出彈簧的彈性勢(shì)能E_P與小鋼球質(zhì)量m、桌面離地面高度h，水平距離S等物理量的關(guān)系式：E_P=$\frac{mg{s}^{2}}{4h}$．
（2）彈簧的壓縮量x與對(duì)應(yīng)的鋼球在空中飛行的水平距離S的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表所示：

彈簧長(zhǎng)度壓縮量x（cm）	1.00	1.50	2.00	2.50	3.00	3.50
鋼球飛行水平距離S（m）	1.01	1.50	2.01	2.48	3.01	3.50

從上面的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，請(qǐng)你猜測(cè)彈簧的彈性勢(shì)能E_P與彈簧長(zhǎng)度的壓縮量x之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由：E_P與x²成正比．

Answer 1

分析 根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以求出鋼球離開桌面時(shí)的速度大小，根據(jù)功能關(guān)系可以求出彈性勢(shì)能的表達(dá)式．
先從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得出彈簧的壓縮量與小球的射程的關(guān)系，再結(jié)合第一小問(wèn)中結(jié)論得到彈性勢(shì)能與小球的射程的關(guān)系，最后綜合出彈簧的彈性勢(shì)能E_P與彈簧長(zhǎng)度的壓縮量x之間的關(guān)系．

解答 解：（1）設(shè)桌子高度為h，小球離開桌面后做平拋運(yùn)動(dòng)，
水平方向：s=v₀t，
豎直方向有：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
聯(lián)立解得：v₀=$s\sqrt{\frac{g}{2h}}$，
根據(jù)功能關(guān)系可知彈簧彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為小球平拋的初動(dòng)能，有：
E_P=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，解得E_P=$\frac{mg{s}^{2}}{4h}$．
（2）E_p與彈簧的壓縮量x之間的關(guān)系為：E_p與x²成正比．
猜測(cè)的理由：由于E_P=$\frac{mg{s}^{2}}{4h}$，可知E_p與s²成正比，由表中數(shù)據(jù)可看出，在誤差范圍內(nèi)，x正比于s，猜測(cè)可能E_p與x²也成正比．
故答案為：（1）E_P=$\frac{mg{s}^{2}}{4h}$，（2）E_P與x² 成正比．

點(diǎn)評(píng) 本題借助于平拋運(yùn)動(dòng)以及數(shù)學(xué)推導(dǎo)考查了彈性勢(shì)能和彈性形變量之間的關(guān)系，是考查知識(shí)綜合應(yīng)用、公式理論推導(dǎo)的好題，其中得到彈性勢(shì)能表達(dá)式是個(gè)重點(diǎn)，難點(diǎn)是猜測(cè)E_p與彈簧的壓縮量x之間的關(guān)系，彈性勢(shì)能的表達(dá)式為：${E}_{p}=\frac{1}{2}k{x}^{2}$，故我們的猜測(cè)是完全正確的．