Question

3．如圖甲所示，不變形、足夠長、質量為m₁=0.2kg的“U”形金屬導軌PQMN放在絕緣水平桌面上，QP與MN平行且距離d=1m，Q、M間導體電阻阻值R=4Ω，右內側緊靠兩固定絕緣小立柱1、2；光滑金屬桿KL電阻阻值r=1Ω，質量m₂=0.1kg，垂直于QP和MN，與QM平行且距離L=0.5m，左側緊靠兩固定絕緣小立柱3、4．金屬導軌與桌面的動摩擦因數μ=0.5，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，其余電阻不計．從t=0開始，垂直于導軌平面的磁場磁感應強度如圖乙所示．
（1）求在整個過程中，導軌受到的靜摩擦力的最大值f_max；
（2）如果從t=2s開始，給金屬桿KL水平向右的外力，外力對金屬桿作用的功率保持不變?yōu)镻₀=320W，桿到達最大速度時撤去外力，求撤去外力后QM上產生的熱量Q_R？

Answer 1

分析 （1）在0-1s內B均勻增大，回路中產生恒定的感應電流，由法拉第電磁感應定律和歐姆定律結合求出感應電流，由公式F=BIL求出導軌受到的安培力大小，即可求得靜摩擦力的最大值．
（2）從t=2s開始，導軌QM受到的安培力向右，由于小立柱1、2的作用，金屬導軌PQMN靜止．桿達到最大速度時勻速運動，由平衡條件求出最大速度，再由能量守恒求解撤去外力后QM上產生的熱量Q_R．

解答 解：（1）在0～1s時間內，設t時刻磁場磁感應強度為B，QKLM中的感應電動勢為E，電流為I，金屬導軌QM受到的安培力為F，則
由乙圖得  B=2+2t（T），得 $\frac{△B}{△t}$=2T/s                   
由法拉第電磁感應定律得 E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{△B}{△t}$dL=2×1×0.5V=1V
I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{1}{4+1}$A=0.2A
導軌所受的安培力 F=BId=（2+2t）Id
當t=1s時，安培力最大為F_m，則F_m=0.8N
設金屬導軌PQMN受到的最大靜摩擦力為f_m，則f_m=μ（m₁+m₂）g=0.5×（0.2+0.1）×10N=1.5N
1s以后，電動勢為零，QM受到的安培力為零．即安培力最大時，仍然小于金屬導軌PQMN受到的最大靜摩擦力，金屬導軌PQMN始終靜止，受到的是靜摩擦力，所以
f_max=F_m                             
則得 f_max=0.8N                            
（3）從t=2s開始后，導軌QM受到的安培力向右，由于小立柱1、2的作用，金屬導軌PQMN靜止．設桿KL的最大速度為v_m時，感應電動勢為E₁，電流為I₁，受到的安培力為F₁，外力為F₀，則 E₁=B₀dv_m，I₁=$\frac{{E}_{1}}{R+r}$
則得 F₁=B₀I₁d=$\frac{{B}_{0}^{2}jx5u6hi^{2}{v}_{m}}{R+r}$  
速度最大時外力與安培力平衡，則有F₀=F₁
據題 F₀v_m=P₀                        
即$\frac{{P}_{0}}{{v}_{m}}$=$\frac{{B}_{0}^{2}roveq3i^{2}{v}_{m}}{R+r}$  
解得 v_m=10 m/s
撤去外力直到停下來，產生的總熱量為Q₀，則
 Q₀=$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{m}^{2}$=$\frac{1}{2}×0.1×1{0}^{2}$J=5J
QM上產生的熱量 Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q₀=$\frac{4}{4+1}$×5J=4J
答：（1）在整個過程中，導軌受到的靜摩擦力的最大值f_max為0.8N．
（2）QM上產生的熱量 Q_R為4J．

點評 第1題屬于感生現象，由法拉第電磁感應定律、歐姆定律求出感應電流，分析導軌的狀態(tài)是關鍵．第2題類似于汽車起動，要正確分析棒的運動情況和能量轉化情況，知道桿的速度最大時受力平衡．