Question

14．據(jù)媒體報道，科學在太陽系發(fā)現(xiàn)一顆未為人知綽號“第9大行星”的巨型行星．《天文學雜志》研究員巴蒂金和布朗表示，雖然沒有直接觀察到，但他們通過數(shù)學模型和電腦模擬發(fā)現(xiàn)了這顆行星．該行星質量是地球質量的10倍，公轉軌道半徑是地球公轉軌道半徑的600倍，其半徑為地球的3.5倍．科學家認為這顆行星屬氣態(tài)，類似天王星和海王星，將是真正的第9大行星．已知地球表面的重力加速度為9.8m/s²，關于這顆“第9大行星“，以下說法正確的是（　　）

• A． 繞太陽運行一周約需1.8萬年
• B． 表面的重力加速度為8.0 m/s²
• C． 第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度
• D． 若該行星有一顆軌道半徑與月球繞地球軌道半徑相等的衛(wèi)星，其周期大于一個月

Answer 1

分析 A、根據(jù)開普勒周期定律列式分析巨型行星的公轉周期；
B、根據(jù)mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$列式分析重力加速度的表達式進行分析；
C、根據(jù)mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$求解第一宇宙速度的表達式分析；
D、根據(jù)$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m（\frac{2π}{T}）^{2}r$求解周期T的表達式分析．

解答 解：A、根據(jù)開普勒周期定律，有：$\frac{r_地^3}{T_地^2}=\frac{r_9^3}{T_9^2}$，
解得：T₉=$（\frac{{r}_{9}}{{r}_{地}}）^{\frac{3}{2}}{T}_{地}$=600${\;}^{\frac{3}{2}}$年=14697年；故A錯誤；
B、根據(jù)mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$，有g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$；
該行星質量是地球質量的10倍，公轉軌道半徑是地球公轉軌道半徑的600倍，故g₉=$\frac{{M}_{9}}{{M}_{地}}•（\frac{{R}_{地}}{{R}_{9}}）^{2}g$=8.0 m/s²，故B正確；
C、根據(jù)mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得v=$\sqrt{gR}$，故該星球的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度的比值為：$\frac{{v}_{9}}{{v}_{地}}=\frac{\sqrt{{g}_{9}{R}_{9}}}{\sqrt{{g}_{地}{R}_{地}}}=\sqrt{\frac{8}{9.8}×3.5}＞1$，故該星球的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C錯誤；
D、根據(jù)$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m（\frac{2π}{T}）^{2}r$，有：$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$∝$\frac{1}{\sqrt{M}}$；
該行星質量是地球質量的10倍，月球周期約為1個月，若該行星有一顆軌道半徑與月球繞地球軌道半徑相等的衛(wèi)星，其周期將為為$\frac{1}{3.15}$個月，故D錯誤；
故選：B

點評 本題關鍵是明確行星和衛(wèi)星的動力學原理，結合開普勒定律和牛頓第二定律列式分析，不難．