Question

8．宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的三星系統(tǒng)，通�？珊雎云渌�恒星對(duì)它們的引力作用，三顆星的質(zhì)量也相等．已觀測(cè)到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)有兩種：一是三顆星位于同一條直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的軌跡上運(yùn)行；二是三顆星位于邊長(zhǎng)為l的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的同軌道運(yùn)行．設(shè)每顆星的質(zhì)量均為m，引力常數(shù)為G；直線三星系統(tǒng)和三角形三星系統(tǒng)中星體作圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度分別為a₁和a₂、周期分別為T(mén)₁和T₁，則下列關(guān)系正確的是（　�。�

• A． $\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}{L}^{2}}{12{R}^{2}}$
• B． $\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{\sqrt{3}{L}^{2}}{3{R}^{2}}$
• C． $\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\sqrt{\frac{3{R}^{2}}{{L}^{4}}}$
• D． $\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\sqrt{\frac{12{R}^{2}}{5{L}^{2}}}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，抓住衛(wèi)星所受萬(wàn)有引力的合力提供向心力，求出向心加速度和周期的表達(dá)式，從而求出比值的大�。�

解答 解：對(duì)于三顆星在同一條直線上的模型，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有：$G\frac{{m}^{2}}{4{R}^{2}}+G\frac{{m}^{2}}{{R}^{2}}=m{a}_{1}=mR\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$，
解得${a}_{1}=\frac{5Gm}{4{R}^{2}}$，${T}_{1}=\sqrt{\frac{16{π}^{2}{R}^{3}}{5Gm}}$，
對(duì)于三角形三星系統(tǒng)，$2G\frac{{m}^{2}}{{L}^{2}}cos30°=m{a}_{2}=m\frac{L}{2cos30°}•\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}}$，
解得a₂=$\frac{\sqrt{3}Gm}{{L}^{2}}$，T₂=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{L}^{3}}{3Gm}}$，
則$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{5\sqrt{3}{L}^{2}}{12{R}^{2}}$，$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}=\sqrt{\frac{12{R}^{3}}{5{L}^{3}}}$．故A正確，B、C、D錯(cuò)誤．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律是力學(xué)的重點(diǎn)，在本題中有些同學(xué)找不出什么力提供向心力，關(guān)鍵在于進(jìn)行正確受力分析．