Question

如圖所示，一輕繩吊著粗細(xì)均勻的棒，棒下端離地面高H，上端套著一個(gè)細(xì)環(huán)．棒和環(huán)的質(zhì)量均為m，相互間最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力kmg(k>1)．?dāng)嚅_輕繩，棒和環(huán)自由下落．假設(shè)棒足夠長，與地面發(fā)生碰撞時(shí)，觸地時(shí)間極短，無動(dòng)能損失．棒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中始終保持豎直，空氣阻力不計(jì).求：

  (1)棒第一次與地面碰撞彈起上升過程中，環(huán)的加速度．

  (2)從斷開輕繩到棒與地面第二次碰撞的瞬間，棒運(yùn)動(dòng)的路程S．

  (3)從斷開輕繩到棒和環(huán)都靜止，摩擦力對環(huán)及棒做的總功W

Answer 1

（1）設(shè)棒第一次上升過程中，環(huán)的加速度為a_環(huán)

環(huán)受合力  F_環(huán)=kmg－mg

由牛頓第二定律 F_環(huán)=ma_環(huán)

由①②得  a_環(huán)=（k-1）g，方向豎直向上

（2）設(shè)以地面為零勢能面，向上為正方向，棒第一次落地的速度大小為v₁

由機(jī)械能守恒

解得 

設(shè)棒彈起后的加速度a_棒

由牛頓第二定律 a_棒=–（k+1）g

棒第一次彈起的最大高度

解得 

棒運(yùn)動(dòng)的路程  S=H+2H₁=

（3）解法一

棒第一次彈起經(jīng)過t₁時(shí)間，與環(huán)達(dá)到相同速度v’₁

環(huán)的速度 v’₁=-v₁+a_環(huán)t₁

棒的速度v^’₁=v₁+a_棒t₁

環(huán)的位移

棒的位移

解得 

棒環(huán)一起下落至地

解得

同理，環(huán)第二次相對棒的位移

環(huán)相對棒的總位移

X=x₁+x₂+……+x_n+……

W=kmgx

得

解法二

設(shè)環(huán)相對棒滑動(dòng)距離為l

根據(jù)能量守恒 mgH+mg（H+l）=kmgl

摩擦力對棒及環(huán)做的總功

W=-kmgl

解得