Question

圖示為宇宙中一恒星系的示意圖，A為該星系的一顆行星，它繞中央恒星O 的運(yùn)行軌道近似為圓．已知引力常量為G ，天文學(xué)家觀測(cè)得到A 行星的運(yùn)行軌道半徑為R₀，周期為T₀．

(l)中央恒星O 的質(zhì)量是多大？

(2)經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，A 行星的實(shí)際運(yùn)行軌道與理論軌道有少許偏差，并且每隔t₀時(shí)間其運(yùn)行軌道偏離理論軌道最大，天文學(xué)家認(rèn)為出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因可能是A 行星外側(cè)還存在著一顆未知的行星B （假設(shè)其運(yùn)行的圓軌道與A 在同一平面內(nèi)，且與A 的繞行方向相同）．根據(jù)上述現(xiàn)象和假設(shè)，試估算未知行星的運(yùn)動(dòng)周期和軌道半徑．

 

Answer 1

【答案】

⑴設(shè)中央恒星O的質(zhì)量為M，A行星的質(zhì)量為m，則由萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律得 

    (2分)

解得      (２分)

⑵由題意可知：A、B相距最近時(shí)，B對(duì)A的影響最大，且每隔時(shí)間相距最近，設(shè)B行星的周期為，則有     (２分)

解得     (1分)

設(shè)B行星的運(yùn)行軌道半徑為，根據(jù)開(kāi)普勒第三定律有     (2分)

解得    (1分)

【解析】略