Question

6．如圖，半徑為R的$\frac{1}{4}$圓弧支架固定在桌面上，距離圓弧邊緣C處高度為$\frac{R}{3}$的D處固定一小定滑輪，一繞過定滑輪的輕繩兩端系著質量分別為2m與m的小球a和b（均可視為質點），開始時，讓a位于C處．不計一切摩擦，繩子足夠長，回答：
（1）如果剪斷DC間的繩子，讓小球a在C處從靜止開始沿支架自由滑下
①測得小球落地E處與桌子的水平距離EB等于2R，試求桌子AB的高度h；
②設小球a從C滑到A處的時間t₁，從A運動到E的時間為t₂，試比較t₁、t₂的大小，并說明理由；
（2）如果不剪斷繩子，讓小球a在C處從靜止開始沿支架滑下，求從C到A過程中繩子拉力對a球所做的功

Answer 1

分析 （1）①小球在CA之間運動的過程中只有重力做功，由機械能守恒定律即可求出小球到達A時的速度，然后結合平拋運動的特點即可求出桌面的高度；
②小球在CA之間的運動類似于單擺，可以由單擺的周期公式求出時間；小球做平拋運動的時間與高度h有關，求出后比較即可．
（2）如果不剪斷繩子，讓小球a在C處從靜止開始沿支架滑下，則運動的過程中a與b組成的系統(tǒng)滿足機械能守恒，將小球a在A點的速度分解，求出a與B的速度關系，然后結合動能定理即可求出結果．

解答 解：（1）①剪斷DC間的繩子球a在C到A的過程中機械能守恒，則：$\frac{1}{2}•2m{v}_{1}^{2}=2m•gR$
得：${v}_{1}=\sqrt{2gR}$
小球離開桌面后做平拋運動水平方向：2R=v₁•t₂
所以：${t}_{2}=\frac{2R}{{v}_{1}}=\frac{2R}{\sqrt{2gR}}=\sqrt{\frac{2R}{g}}$
則桌面的高度：h=$\frac{1}{2}g{t}_{2}^{2}=\frac{1}{2}g×\frac{2R}{g}=R$
②小球在CA之間的運動類似于單擺運動，從C到的時間是$\frac{1}{4}T$，所以：
${t}_{1}=\frac{1}{4}•2π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}=\frac{π}{2}•\sqrt{\frac{R}{g}}＞{t}_{2}=\sqrt{\frac{2R}{g}}$
（2）如果不剪斷繩子，讓小球a在C處從靜止開始沿支架滑下的過程中b向上運動，由于不計一切摩擦，則a與b組成的系統(tǒng)的機械能守恒．
將小球a在A點的速度沿繩子的方向和垂直于繩子的方向分解，如圖，則沿繩子方向的分速度與小球b的速度的大小是相等的，則：

由圖中幾何關系可知：$tanθ=\frac{R+\frac{R}{3}}{R}=\frac{4}{3}$，$\frac{R}{\overline{AD}}=cosθ$
所以：θ=53°，$\overline{AD}=\frac{5R}{3}$
由圖中幾何關系：v_acosθ=v_b
所以：v_b=0.6v_a
又小球a在C處從靜止沿支架滑下的過程中a與b組成的系統(tǒng)滿足機械能守恒得：
2m•gR-mg（$\overline{AD}-\frac{R}{3}$）=$\frac{1}{2}•2m{v}_{a}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_^{2}$
聯(lián)立以上方程得：${v}_{a}=0.75\sqrt{gR}$
小球a在C到A的過程中受到重力、支持力和繩子的拉力，支持力不做功，由動能定理得：
$2mgR+{W}_{繩子}=\frac{1}{2}•2m{v}_{a}^{2}-0$
所以：${W}_{繩子}=-\frac{25}{16}mgR$
答：（1）①測得小球落地E處與桌子的水平距離EB等于2R，桌子AB的高度是R；
②設小球a從C滑到A處的時間t₁，從A運動到E的時間為t₂，則t₁＞t₂；
（2）如果不剪斷繩子，讓小球a在C處從靜止開始沿支架滑下，從C到A過程中繩子拉力對a球所做的功是$-\frac{25}{16}mgR$．

點評 該題中的兩問實際對應的是兩種不同的情況，第一種的情況比較簡單，而第二種的情況下，小球a與小球b的速度大小是不相等的，需要將a的速度分解后才能使用動能定理或機械能守恒定律，這是題目的難點，也是非常容易出錯的地方，要特別注意．