Question

8．已知地球半徑為R，質(zhì)量分布均勻，勻質(zhì)球殼對其內(nèi)部物體的引力為零．設想在赤道正上方高h處和正下方深為h處各修建一以地心為圓心的環(huán)形真空軌道，軌道面與赤道面共面．A、B兩物體分別在上述兩軌道中做勻速圓周運動，軌道對它們均無作用力．則兩物體運動的向心加速度大小、線速度大小、角速度、周期之比正確的為（　�。�

• A． $\frac{{a}_{A}}{{a}_{B}}$=（$\frac{R-h}{R+h}$）²
• B． $\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}$=$\sqrt{\frac{R-h}{R+h}}$
• C． $\frac{{ω}_{A}}{{ω}_{B}}$=$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{（R+h）^{3}}}$
• D． $\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}$=$\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{（R-h）^{3}}}$

Answer 1

分析 由地球質(zhì)量等于密度乘以體積，可得地球質(zhì)量表達式；由萬有引力提供向心力，對A、B分別列方程可得兩物體速度和加速度之比．

解答 解：設地球密度為ρ，則有：
在赤道上方：$\frac{Gρ\frac{4}{3}π{R}^{3}}{{（R+h）}^{2}}=\frac{{v}_{A}^{2}}{R+h}={a}_{A}=（R+h）{{ω}_{A}}^{2}=\frac{4{π}^{2}（R+h）}{{T}_{A}^{2}}$
在赤道下方：$\frac{Gρ\frac{4}{3}π{（R-h）}^{3}}{{（R-h）}^{2}}=\frac{{v}_{B}^{2}}{R-h}={a}_{B}=（R-h）{{ω}_{B}}^{2}=\frac{4{π}^{2}（R-h）}{{T}_{B}^{2}}$
解得：
$\frac{{a}_{A}}{{a}_{B}}=\frac{{R}^{3}}{{（R+h）}^{2}（R-h）}$，故A錯誤；
$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}$=$\frac{R}{{R}^{2}-{h}^{2}}\sqrt{R（R+h）}$，故B錯誤；
$\frac{{ω}_{A}}{{ω}_{B}}$=$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{（R+h）^{3}}}$，故C正確；
$\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}=\sqrt{\frac{{（R+h）}^{3}}{{R}^{3}}}$，故D錯誤；
故選：C

點評 本題主要掌握萬有引力提供向心力的基本應用，要會用數(shù)學方法表示球體質(zhì)量；并正確應用萬有引力充當向心力求解各物理量的表達式．