Question

11．“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星開(kāi)始繞地球做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)變軌、制動(dòng)后，成為一顆繞月球做圓軌道運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星．設(shè)衛(wèi)星繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)．已知月球半徑為R，引力常量為G．（球的體積公式V=$\frac{4}{3}$πR³，其中R為球的半徑）求：
（1）月球的質(zhì)量M；
（2）月球表面的重力加速度g；
（3）月球的密度ρ．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求中心天體月球的質(zhì)量M；
（2）在月球表面重力與萬(wàn)有引力相等求月球表面的重力加速度；
（3）根據(jù)密度公式求解．

解答 解：（1）對(duì)衛(wèi)星，由萬(wàn)有引力提供向心力
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$
得：M=$\frac{{{4π}^{2}r}^{3}}{{GT}^{2}}$
（2）假設(shè)月球表面附件有一物體m′，其所受萬(wàn)有引力等于重力
$\frac{GMm′}{{R}^{2}}$=m′g
g=$\frac{{{4π}^{2}r}^{3}}{{{T}^{2}R}^{2}}$
（3）球的體積公式V=$\frac{4}{3}$πR³，根據(jù)密度的定義，
ρ=$\frac{M}{\frac{4{πR}^{3}}{3}}$=$\frac{3{πr}^{3}}{{{GT}^{2}R}^{3}}$
答：（1）月球的質(zhì)量是$\frac{{{4π}^{2}r}^{3}}{{GT}^{2}}$；
（2）月球表面的重力加速度是$\frac{{{4π}^{2}r}^{3}}{{{T}^{2}R}^{2}}$；
（3）月球的密度是$\frac{3{πr}^{3}}{{{GT}^{2}R}^{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題要掌握萬(wàn)有引力提供向心力和星球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力，要求能夠根據(jù)題意選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_(dá)式．