Question

10．如圖所示，摩托車(chē)做騰躍特技表演，以1.0m/s的初速度沿曲面沖上高0.8m、頂部水平的高臺(tái)，若摩托車(chē)沖上高臺(tái)的過(guò)程中始終以額定功率1.8kW行駛，經(jīng)過(guò)1.2s到達(dá)平臺(tái)頂部，到達(dá)頂部后立即關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)油門(mén)，人和車(chē)落至地面時(shí)，恰能無(wú)碰撞地沿圓弧切線從A點(diǎn)切入光滑豎直圓弧軌道，并沿軌道下滑．已知圓弧半徑為R=1.0m，人和車(chē)的總質(zhì)量為180kg，特技表演的全過(guò)程中不計(jì)一切阻力，取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．求：
（1）人和車(chē)到達(dá)頂部平臺(tái)時(shí)的速度v；
（2）人和車(chē)從平臺(tái)飛出到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度大小和方向；
（3）人和車(chē)運(yùn)動(dòng)到圓弧軌道最低點(diǎn)O時(shí)對(duì)軌道的壓力．

Answer 1

分析 （1）對(duì)摩托車(chē)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行分析，運(yùn)用動(dòng)能定理研究開(kāi)始到頂部平臺(tái)過(guò)程，可求出人和車(chē)到達(dá)頂部平臺(tái)時(shí)的速度v．
（2）從平臺(tái)飛出到A點(diǎn)，這是一段平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，然后由運(yùn)動(dòng)的合成與分解的知識(shí)求出合速度的大小以及速度的方向與水平方向之間的夾角．
（3）再次運(yùn)用動(dòng)能定理研究平臺(tái)到O點(diǎn)，求出O點(diǎn)速度，運(yùn)用牛頓第二定律求出人和車(chē)運(yùn)動(dòng)到圓弧軌道最低點(diǎn)O時(shí)對(duì)軌道的壓力．

解答 解：（1）由動(dòng)能定理得：
$Pt-mgh=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：v=3m/s                                                   
（2）由平拋規(guī)律得：
$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
聯(lián)立方程，代入數(shù)據(jù)得：t=0.4s，
從A點(diǎn)切入光滑豎直圓弧軌道的速度為：
${v}_{A}=\sqrt{{v}^{2}+（gt）^{2}}=5$m/s
設(shè)速度的方向與水平方向之間的夾角為θ，則：
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{v}=\frac{gt}{v}$=$\frac{10×0.4}{3}=\frac{4}{3}$
所以：θ=53°方向是水平向右偏下
（3）A→O過(guò)程由動(dòng)能定理有：
$mgR（1-cos\frac{θ}{2}\;）=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
又有：${F}_{N}-mg=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
聯(lián)立以上兩式得：F_N=4.3mg=7740N，
由牛頓第三定律知壓力為7740N．     
答：（1）人和車(chē)到達(dá)頂部平臺(tái)時(shí)速度3m/s；
（2）到達(dá)A點(diǎn)速度大小是5m/s，方向是水平向右偏下53°；
（3）對(duì)軌道壓力大小是7740牛．

點(diǎn)評(píng) 該題考查了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用．對(duì)于不規(guī)則的曲線運(yùn)動(dòng)求速度，我們應(yīng)該想到動(dòng)能定理去求解．對(duì)于平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律和圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)、最低點(diǎn)的分析，作為基礎(chǔ)知識(shí)我們應(yīng)該掌握．