Question

如圖所示，一豎直光滑絕緣的管內(nèi)有一勁度系數(shù)為k的絕緣彈簧，其下端固定于地面，上端與一質(zhì)量為m，帶電量為+q的小球A相連，整個(gè)空間存在一豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，小球A靜止時(shí)彈簧恰為原長(zhǎng)。另一質(zhì)量也為m的不帶電的絕緣小球B從距A為的P點(diǎn)由靜止開(kāi)始下落，與A發(fā)生碰撞后一起向下運(yùn)動(dòng)（全過(guò)程中小球A 的電量不發(fā)生變化，重力加速度為g）。

（1）若已知，試求B與A碰撞過(guò)程中損失的機(jī)械能；

（2）若未知，且B與A在最高點(diǎn)恰未分離，試求A、B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)彈簧的形變量；

（3）在滿足第（2）問(wèn)的情況下，試求A、B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大速度。

Answer 1

【解析】：(1)設(shè)勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為E,在碰撞前A靜止時(shí)有:

         ①┈┈┈1分     解得:   ┈┈┈┈1分

在與A碰撞前B的速度為v₀,由機(jī)械能守恒定律得:

      ┈┈┈┈1分        ∴  ┈┈┈┈┈1分

B與A碰撞后共同速度為v₁,由動(dòng)量守恒定律得:

                       ③┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分

∴    ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分

B與A碰撞過(guò)程中損失的機(jī)械能ΔE為:

  ④┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分

(2)A、B在最高點(diǎn)恰不分離,此時(shí)A、B加速度相等，且它們間的彈力為零，設(shè)此時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量為x₁，則：對(duì)B：                   ⑤┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分

對(duì)A：         ⑥┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分

所以彈簧的伸長(zhǎng)量為：       ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分

（3）A、B一起運(yùn)動(dòng)過(guò)程中合外力為零時(shí)，具有最大速度v_m，設(shè)此時(shí)彈簧的壓縮量為x₂,則：

             ⑦┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分

∴                 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分

由于x₁=x₂,說(shuō)明A、B在最高點(diǎn)處與合外力為零處彈簧的彈性勢(shì)能相等，對(duì)此過(guò)程由能量守恒定律得：  ⑧┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分

解得：       ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分